《近世代数简介》PPT课件.ppt

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1、第二章近世代数简介千里之行，始于足下。——孔子2.1群、环、域1群2环3域1群定义对于一个非空元素集合G以及定义在G上的一种运算“*”（这里的*泛指任一种代数运算，如模m加，模m乘等），若满足以下四个条件：①封闭性（Closure），即（Forevery）②结合性（Associativity），即③存在惟一的一个单元e（Identity），即④G中的每个元素各自存在惟一的逆元（Inverse），即这里，泛指逆元，不能狭义的理解为就是1/a。则称这样的代数系统为群（Group），记做（G,*）。若再满足第

2、五个条件：⑤交换律,即则称这样的代数系统为交换群（CommutativeGroup），也称阿贝尔群（AbelianGroup）。如果群（G，*）中的运算*是加法，则称群（G,+）为加群（AdditiveGroup）。加群一定是交换群。加群中一定包含零元素，零元素正是该加群的单位元e。加群元素a的逆元是代数中的-a。如果群（G，*）中的运算*是乘法，则称群（G,.）为乘群（MultiplicativeGroup）。乘群中一定不包含零元素，因为零元素不存在乘法运算下的逆元。乘法不一定是交换群。乘法的单位元是

3、1，乘法元素a的逆元是代数中的1/a.如果群（G，*）中包含无数个元素，则称该群为无限群。如果群（G，*）中包含有限个元素，则称该群为有限群。构成有限群的元素的个数称为该群的阶。如果在群（G，*）中，集合G的非空子集S在同样的运算*下可构成群（S，*），则称群（S，*）为群（G，*）的子群（Subgroup）。（S，*）为（G，*）子群的充要条件是：对于充要条件的这种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性以及子群的封闭性。如果群（G，*）是有限群，则其子群（S，*）也是有限群，且子群的阶数一定是（G，*）

4、阶数的因子。上述性质是由拉格朗日定理（Lagranges）给出的。若（A，*）和（B，*）分别是（G，*）的两个子群，则A和B的交集在同样运算下也构成（G，*）的子群。群（G，*）的任意个子群的交集也是（G，*）的子群。某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂的全体组成一个群，称为循环码，写做其中是单位元。若序列中没有两个元素是相等的，称之为无限循环码。若上述序列中有两个相等的元素可推出G元素必以n为周期重复，即，这样的循环群为有限循环群，写做循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是交换群；循环群的子群仍是循

5、环群；n阶有限循环群的子群的阶数一定是n的因子。例2.1若R表示有理数集合，I表示整数集合，E表示偶数集合，则在加法运算下，（R，+），（I，+）和（E，+）均构成加群，且（I，+）和（E，+）是（R，+）的子群，（E，+）也是（I，+）的子群。该加群的单位元是0。作为对比，奇数集合O在加法运算下构不成群，因为它不满足①要求的封闭性。例2.2若G表示去除0后的有理数集合，则验证条件①~⑤后可断言：G在乘法运算下构成（G，.），该乘群又是交换群。例2.3集合G={0，1，2，……，m-1}在模m加（用符号

6、表示）运算下构成一个加群（G，）。该加群是m阶有限群，单位元是0。0的逆元是0，1的逆元是m-1,2的逆元是m-2，……。例2.4集合G={1,2,……，q-1}在模q乘（q是素数）运算下构成一个乘群（G，）。这里，符号表示模q乘。该乘群是q-1阶有限群，又是交换群，单位元是1。乘群的每个元素a都存在一个逆元满足，或写成：b=（nq+1）/a，n为任意正整数（2-1）2环对于非空元素的集合R以及定义在R上的乘、加两种运算，如满足以下3种条件：①集合R在加运算可构成加群（R，+）。②集合R在乘运算下满足群

7、的前三个条件，即封闭性、结合性及单位元存在性（这里由于少了条件④而不提构成乘群。因为既然是加群（R,+），R中必然含有零元素0，而0不存在乘法运算下的逆元）。③分配律，即则称该代数系统为环（Ring），记做简称环R.如果环R还满足第4个条件：④乘法交换律，即则称该环为交换环。有限整数的集合在乘、加运算下可以构成有限环。比如，集合Z={0，1，2，……，m-1}在模m加、模m乘运算下可以构成有限环，也称剩余类环。这里的m是整数，不要求一定是素数。但不是素数时，环内会存在零因子，称之为零因子环。所谓零因子，

8、是这样定义的：则称a,b为零因子。由零因子时，乘法消除律不能成立，即从a·b=a·c不能推得b=c。不存在零因子的交换环称为整环。集合Z={0，1，2，……，q-1}在模q加、模q乘运算下可构成有限整环，这里q是素数。与群有子群一样，环也有子环。子环的定义是：若S是集合R的子集，且在相同的两种运算下构成环（S，+，·）和环（R，+，·），则称环S是环R的子环。判断S是R子环的充要条件是：①②条件①强调了子环中加法逆元的存在和封闭性，条件②强