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1、要点梳理1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f（x）=.(2)顶点式：f(x)=.(3)零点式：f(x)=.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.§2.5二次函数基础知识自主学习ax2+bx+c(a≠0)a(x-m)2+n(a≠0)a(x-x1)(x-x2)(a≠0)①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.③已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二
2、次函数的图象和性质图象函数性质a＞0定义域x∈R（个别题目有限制的，由解析式确定）值域a>0a<0奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数a＜0单调性a>0a<0图象特点3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，0)、M2(x2，0)，4.三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）.在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互转化有时技巧性也会很强.基础自测1.函数y=x2+bx+c（x∈［0，+
3、∞））是单调函数的充要条件是（）A.b≥0B.b≤0C.b＞0D.b＜0解析∴b≥0.故选A.A2.方程a2x2+ax-2=0(
4、x
5、≤1)有解，则（）A.
6、a
7、≥1B.
8、a
9、>2C.
10、a
11、≤1D.a∈R解析∵原方程可分解为(ax+2)(ax-1)=0,∴ax=-2或ax=1,则有
12、a
13、≥2或
14、a
15、≥1.即
16、a
17、≥1.A3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）解析选项A中,一次函数的斜率a>0,而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,y=ax2+bx+c的对称轴为
18、当a>0,b>0时，∴排除B.当a<0,b<0时，故选C.C4.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么（）A.f(2）>f(3)B.f(3)>f(2)C.f(3)=f(2)D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定解析∵f(4)=f(1),∴选C.C5.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为（）A.f(x)=-x2-x-1B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1D.f(x)=x2-x+1解析方法一由f(0)=1,可得f(x)=ax2+
19、bx+1(a≠0)，用排除法可选D.方法二由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1(a≠0),故f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1.∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b,由已知：f(x+1)-f(x)=2x,即2ax+a+b=2x.答案D题型一二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式.确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.题型分类深度剖析思维启迪解方法一设f(x)=ax2+bx+c(
20、a≠0),依题意有∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为∴m=又根据题意函数有最大值为n=8，∴y=f（x）=∵f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即解之，得a=-4或a=0(舍去）.∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(
21、x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定.探究提高知能迁移1设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求f（x）的解析式.解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,∴即b=-4a.①又∵图象过（0，3）点，∴c=3.②∴b2-2ac=10a2.③由①②③得
22、a=1,b=-4,c=3.故f（x）=x2-4x+3.题型二二次函数的图象与性质【例2】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解对称轴为思维启迪(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；(2)当<0，即a<0时，y在[0，1
