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1、别是EF与0、Q所成的角。连结CG、DH=TAB丄EC,山三乖线定理的逆定理，得AB丄CG。・・・ZECG是二面角a—AB—0的平面角。同理，ZFDH也是二面角a-AB-f3FEH=故EF与平而所成的角也相等。图2直线、平面问题易错点分析山东秦振直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不淸、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下血就学生在解题中出现的错误分类辨析如下,供大家参考一、概念不清例1如图1・1,二面角a-AB-(3为锐角，E、F为两个面上的两点，Ewa、Fw卩,若E、F到棱AB的距离EC=FDo求证：EF与平面久0所成的角也相等。鉛解如
2、图1-1,在平面内，分别过E、F作EC丄AB、FD丄AB,垂足为C、Do连结ED、FDoVEC=DF,CD=CD,/.RtAECD^RtAFDCo二ED=FC,又EF=EF,AAECF^AFDEo・•・ZEFC=ZFEDo即EF与平而久0所成的角相等。辨析山题意，EC只垂直AB,而不垂直于平而0,根据直线与平面所成角的定义知,ZEFC不是EF与平面0所成的角，ifuZFED也不是EF与平面Q所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。正解如图1-2,作EG丄Q,G、H为垂足。连结GF、EH,则ZEFG、ZFEH分的平面角。AZECG=
3、ZHDFo则RtAEGF^RtAFHE.二、主观臆断例2矩形ABCD中，AB=3,BC=4,沿对角线AC角，求顶点B和D的距离。错解如图2,在直二面角的面ADC内，自D作DE丄AC于E,连BE、BD,则BD为所求的距离。TDE丄AC,・・・DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC±的i亦「.DE二BE二1n/.ZDEB=90°o（ADDC）:AC=（4X3）:5=yV平而ADC丄平而ABCABD==72DE=o辨析错解屮认为BE是RtAABC斜边上的高，IfuBE并不垂直AC。造成鉛误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。129137止解作BF=DE=—,EC=DC2:AC=-
4、,EF=AC-2EC=5-—=-°在RtABFE5555中，BE=>iBF-+EF2=,在RtABED中，BD=VbE2+DE2o三、随意使用“同理可证”例3如图3,己知平面a平面0,纟殿43分别交a、0于M、N,线段AD分别交a、0于C、D,线段分别交&、0于F、E,若AM=m,BN=n,MN=p,求△£7 和厶FMC的而积之比。错解•••q0,•••平lluAND分别交a、0于MC.ND.FM_AM_mENANtn+p:.MCND。同理MFEN,FCED.山等角定理，得ZFMC=ZEND,ZMFC=ANED…FMC-AEND・S△咖二EN）二伽+…SyJFM「m2°辨
5、析在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用"同理可证”。上述证明中,平而4ND于a、0交于MC、ND,得MCND,YfffiBFM予a、0交于FM、EN,得FMEN,可用“同理可证”，但FCED就不能用“同理可证”，因为BF、AD能共而，也可能异而，故FCED不一定成立，则两个三角形不一定相似。止解•:a0,湎如VD分别交&、0亍MC、ND°：・MCNDMFEN。山等角定理得ZFMC=ZENDoMCAM/VO"A7VNE_BNND=空・MCJ4・MCAMmNE=^-MF=——•MFBMn+pEe图4一1BD=AD=V
6、2在△DAC中SmedJnD.NE.sZEND=2
7、2tnn+p.s。・・・头眶。即△END和△FMC的面积之比为加(〃+")Swc加(〃+〃)n(m+/?)m(n+p)四、作图有误例4如图4—1,设二面角P-EF-Q,从点A分别作AB丄平面P,作AC丄平面Q（5C为垂足），若AB=3,4C=1,ZBAC=60°.求二面角P-EF-Q的度数。错解过A』,C三点的平而和平面分别交于BD、CD.VEF丄AC,EF±ABo・・・EF丄平而ABDCoABD丄EF,CD±EF,故ZBDC为所求二面角的平面角。曲ZBAC=60°,故ZBDC=120°,即二面角的平面角P-EF-Q的度数为120°o辨析满足条件：AB=3,AC=1,ZA=
8、60°,ZBDC=120°的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不，而是在二面角外，山于作图有误，导致计算鉛误，止解如图4-2,过点A、B、C的平面与EF垂直，故ZBDC为二而角。AD为A到EF的距离，VRtAADB>RtAACD在同一平而内，且AD为公共边，・・・A、C、B、D四点公圆。・•・ZBDC=ZBAC=60°,故所求二面角P・EF・Q两度数是60°。%1.考虑不周例5在克二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成45°角，求这两条射线间的尖角o错解如图5・1,直二面角d-a
