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1、第十一章空间向量与立体几何1◆考纲泛读◆①了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②理解空间向量的线性运算及其坐标表示.2③理解空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.④理解直线的方向向量与平面的法向量.⑤能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3⑥能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理,能用向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.4◆高考展望◆空间
2、向量是求解立体几何问题的重要工具，也是高考的热点.高考对空间向量的考查是以解答题的形式呈现的，尤其注重在给出的几何体中，建立适当的空间直角坐标系.因此，应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握用向量法解决垂直、平行的论证及探究性问题，掌握空间角、距离的计算程序.5678向量的线性运算910用已知向量表示未知向量，要结合图形，以图形为指导是解题的关键．根据图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量．对照目标，对不符合目标要求的向量进行适当调整，直到所有向量都符合目标要求．1112空间向量的数量积1314向量数量积
3、定义、定义的变形式和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，要理解记忆并且正确运用．1516在空间直角坐标系中，BC=2，原点O是BC的中点,设点A(,,0)，点D在平面yOz内，且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量OD的坐标；(2)设向量AD与BC的夹角为θ,求cosθ的值.向量的坐标运算17(1)如图，过D作DE⊥BC，垂足为E.在△BDC中，由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2，得BD=1，CD=.所以DE=CD·sin30°=，OE=OB–BD·cos60°=1-=,所以D点的坐标为(0,,)，18即
4、向量OD=.(2)因为OA=，OB=(0,-1,0),OC=(0,1,0),所以AD=OD-OA=，BC=OC–OB=(0,2,0).故.19向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距离的研究提供了运算基础，关键是确定点和向量的坐标.本题(1)利用向量的坐标的定义，求D点的坐标；(2)利用数向量的量积，求两向量的夹角.20已知空间三点A(-2,0,2)、B(-1,1,2)、C(-3,0,4),设=a,=b.(1)求a,b的夹角θ的余弦值；(2)若向量(ka+b)⊥(ka-2b)，求k的值.21(1)因为a=AB=(-1,1，2)-(-
5、2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),所以.(2)因为ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,即2k2+k-10=0，解得k=或k=2.221.有下列命题：①若向量a,b与空间任意向量不能构成基底，则a∥b;②若a∥b,b∥c，则a∥c;③若OA,OB,OC是空间的一个基底，且OD=OA+OB+OC，则
6、A，B，C，D四点共线；23④若向量a+b,b+c,c+a是空间的一个基底，则向量a,b,c也是空间的一个基底.其中正确命题有个.32.已知向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9).若a∥b，则x=，y=.24254.三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN.设OA=a,OB=b,OC=c，试用a,b,c表示向量OG.26OG=OM+MG275.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)为空间三点.(1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积；(2)若n分别与
7、向量AB，AC垂直，且
8、n
9、=3，求向量n的坐标.28(1)由题意，得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2)，则
10、AB
11、=,
12、AC
13、=,所以，故sin∠CAB=.所以S=
14、AB
15、·
16、AC
17、sin∠CAB=，即以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为.29(2)设n=(x,y,z).由已知得,解得或.所以n=(1,1,1)或n=(-1,-1,-1).301.空间向量的运算空间向量的运算是空间向量的坐标运算的基础，如证明直线与平面平行时，先在平面内找到两个向量，通过这两个向量根据向量垂直的数量积运算关系求出平面的法向量，再证
18、法向量与已知直线的方向向量垂直.312.空间向量的坐标运算根据几何条件，分析要研究的问题需要用什么向量知识来解决，如是平行或垂直或求角，同时，针对目标建立空间直角坐标系，并明确哪些向量是可用的，把需要的向量的坐标找出来；可用向量是否是已知向量，若不是，看它们最易
