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《解题中的“设而不求”综述.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解题中的“设而不求”综述周冷利设而不求是数学解题屮的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。木文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。一、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有忖标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过稈，可使问题迅速得到解决。例］.已知等比数列｛%｝中,Sm=16,S2m=64,求S3卄解：设公比为q,由于S2m^2Sm,故qHli-q<1><2><2>4-Wl+qm=4
2、,则qm=3a/l-qm)i-q(l+qm+q2m)所以S顼：=16x(1+34-32)=208二、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。例2・设a、b均为正数，且a+b=l,求证J2a+1+J2b+1<2血。证明：设u=J2a+1,v二J2b+l(u〉1,v>1),u+v=mu+v=m则ikv同时满足£u2+v2=4其屮u+v=m表示育线，m为此直线在V轴上的截距u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧(如图1),显然直线与圆弧相切
3、时，所对应的截距m的值最大。由图易得mmax=2V2即72a+1+J2b+1<2V2三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求Z问的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。例3・已知对任何满足(x-1)2+y2=1的实数x、y,如果x+y+k>0恒成立，求实数k的取值范围。fx=I+COS0解：设｛(&WR),贝I」[y=sin<9g(&)=x+y+k=sin&+cos0+1+k=V2sin(&+—)+1+k4>-V2+1+k令—V2+l+k>0,得k>V2-1四、巧设坐标，设而不求在解
4、析几何问题屮，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。例4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的頁线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//X轴，求证：直线AC经过原点O。证明：设点A(2pt；,2pt])、B(2pt
5、,2pt2),则点C(,2pt2)因为AB过焦点F所以2pt]-2pt2=-p2又肓线OC的斜率kg=m=-4匚=丄_£-t.2肓线OA的斜率kg=2%二°二丄，则koc=k2pt~-0t
6、故A、O、C三点共线，即肓线AC经
7、过原点O。图2五、活用性质，设而不求解题过稈屮，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造,活用性质，可直达目标。例'求证7+尙*…+»知心，"*)证明:设X占+角+…+命€I111113则X.+I111n+2n+32n2n+12n+224由Xn+l-X“递增数列。12n+12n+2n+I>0可知:2n+12n+2数列｛x“｝为单调又X2」+丄』〉03424则xn>0(n>2,ngN*)即dr士+…+存鲁E2,neN*)六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个屮间量作为屮介，起到过渡作用
8、，使问题得以解决。例6・如图3,0A是圆锥底面屮心0到母线的垂线，0A绕轴旋转一周所得
9、11
10、面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角a。图3解：过点A作SO的垂线，垂足为M,可知ZMAO=ZAOB=ZOSB=a设MA=x,OB=r,SO=h则有”h斗新h化简可得*又因为cosa=MAOAOAOB即coscr=—=—OAr所以cos匕二丄△OArr于是cos4a=—,从而a-arccos~^=2V2七、恒等变形，设而不求某些看似I•分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效
11、果。711713tt8兀f/KI■——COS——cos••cos——的值。17171717711713兀&兀cos——COS——coscos171717172兀.3兀.8龙例7.求cos解：设MN=sin—sin——sinsin一17171717n乃•2兀2穴•&兀&贝ijMN=sin——cos—sin——cos——sin——cos——1717171717171.2兀・4兀・16龙=—sin——sinsin28171717.兀•2兀.8兀=—sin——sinsin——28171717•N而NhO,故“=1256
