2012届高考数学理一轮复习 选考3-2 柯西不等式精品课件 新人教A版.ppt

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1、第二节柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式1.了解柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明．2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般形式．3．会用向量递归方法讨论排序不等式4．会用数学归纳法证明贝努利不等式．5．会用上述不等式证明一些简单问题．1．柯西不等式定理1：(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则

2、α·β

3、≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(ac＋bd)2

4、α

5、

6、β

7、定理4.

8、(一般形式的柯西不等式)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)22．排序不等式定理：(排序不等式，又称排序定理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序

9、和等于顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn3．数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝时命题成立；(2)假设当n＝(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．k＋1n0k1．x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________．2．若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为____

10、____．3．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k>0)，且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k＝________.答案：94．设x，y∈R，已知x2＋y2＝52，则2x＋3y的取值范围为________．解析：(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2，∴－26≤2x＋3y≤26.答案：[－26,26]答案：8热点之一柯西不等式的应用柯西不等式是非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可以使一些较困难的问题迎刃而解．[例1]若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．[思维拓展]利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能

11、不成立，因此不能忘记检验等号成立的条件．热点之二排序不等式的应用在利用排序不等式证明有关问题时，必须构造出两个合适的有序数组，排序不等式的应用是考查的重点．[思维拓展]应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．热点之三用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明时，关键是利用n＝k的假设，且要注意两边的项数，用数学归纳法证明等式(或不等式)是高考考查的热点．本部分内容主要以数学归纳法为主，常与数列、函数、不等式相结合，为高考的重点、热点，而排序不等式和柯西不等式为新课标中新增内容，在高考中还未出现过，但不排除以后考查的可能

12、性．(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．