高二数学选修1-1《313导数的几何意义》学案.doc

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1、§3.1.3导数的几何意义［自学目标］:1.了解平均变化率与割线斜率Z间的关系;2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的儿何意义，并会用导数的儿何意义解题［重点］:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义.［难点］:导数的儿何意义［教材助读］:1.曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当无（兀“J（£））S=1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点PgJ（兀°））时,割线P化的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现，当点化沿着曲线无限接近点P即ArT0时,割线PP趋近丁确定的位置，这个确

2、定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线比的斜率心与切线”的斜率£有什么关系？（2）切线P厂的斜率k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是ku=伦）一冷），当点几沿着曲线无限接近点£一兀（）P时，kn无限趋近丁•切线PT的斜率k,即k=lim仇+W（加=广（必）ztoAr说明：（1）设切线的倾斜角为Q,那么当Ax->0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在x=x0处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位

3、置有关；2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解•如有极限，则在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3）曲线切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.1.导数的几何意义函数y=/（兀）在兀=%0处的导数等丁•在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即广（兀0）=lim/（观+山）一/（观）=k山t（）Ax说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点兀。处的变化率/U）=lim/（^+Ar）~/（^）=k得到曲线在点（x0,/（x0））

4、的切线的斜率；%1利用点斜式求切线方程.3•导函数由函数y=/（兀）在x=xQ处求导数的过程可以看到，当兀=兀0时,广（无））是一个确定的数，那么，当x变化吋，便是%的一个函数，我们叫它为/（%）的导函数.心toAx注：在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4•函数/⑴在点忑处的导数广（忑）、导函数广（兀）、导数之间的区别与联系（1）函数在一点处的导数广（心），就是在该点的函数的改变量与口变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数门兀）的导函数.⑶函

5、数/⑴在点兀处的导数fg）就是导函数广⑴在X=A0处的函数值，这也是求函数在点无。处的导数的方法2—・［预习自测］1、求双曲线y=-在点（丄,2）处的切线的斜率，并写岀切线方程.炒请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。［合作探究展示点评］探究一：导数的应用例1⑴求曲线y=f(x)=x2+l在点P(l,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.探究二：导数的实际应用例2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)=一4.9疋+6.5x

6、+10,根据图像，请描述、［当堂检测］1.求曲线y=/(x)=x3在点(1,1)处的切线.1.求曲线y=Vx在点（4,2）处的切线［拓展提升］1•已知曲线y=2?上一点，则点A（2,8）处的切线斜率为（）A.4B.16C.8D.22.曲线），=2/+1在点P（_l,3）处的切线方程为（）A.y=-4x-1B・y=-4x-7C.y=4x-1D・y=4x4-73.已知函数y=/（x）在x=x°处的导数为11,贝I」lim/（兀一心）一'（6）一心->0Ax