文档LC无阻尼受迫(交流)振荡电路.doc

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1、我们已经知道，将带电电容C与电感L串联，无电阻、无电源，电路接通后会产生正弦交变电流（参见《LC无阻尼自由振荡电路》）。现在要说的是，如果电路中还有个正弦交变电源，而电容初始时不带电，又会怎样呢？由基尔霍夫定律，得uL+uC=e=Emsin(ωt+φ)（注：Em是电动势最大值，ω为电动势圆频率，φ为初相位）根据电感上电压、电流间的微分关系，有uL=L*di/dt则得到uC=e-uL=Emsin(ωt+φ)-L*di/dtduC=d[Emsin(ωt+φ)-L*di/dt]=Emωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt根据电容上电流、电压间的微分

2、关系，有i=C*duC/dt则i=C*[Emωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt]/dti=EmCωcos(ωt+φ)-LC*d2i/dt2LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。相对有些难解。为解此微分方程，须介绍两个定理：定理一一个二阶线性非齐次微分方程的通解，等于其对应的齐次方程的通解加上原方程的一个特解。（为避免与电流混淆，虚数单位用j表示）定理二若y=y1+y2j是二阶线性非齐次微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)+T(x)j的解，则y1是微分方

3、程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)的一个解，y2是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=T(x)的一个解。根据定理一，先解它对应的齐次方程。它对应的齐次方程为：LC*d2i/dt2+i=0用特征方程法，其特征方程为：LCx2+1=0解得x1=(1/LC)1/2j,x2=-(1/LC)1/2j则齐次方程对应的通解为：（为避免与电容混淆，积分变量用A'、B'表示）i=A'e(1/LC)^(1/2)jt+B'e-(1/LC)^(1/2)jt由欧拉公式ejx=jsinx+cosx得i=A'{jsin

4、[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}+B'{jsin[-(1/LC)1/2t]+cos[-(1/LC)1/2t]}i=A'jsin[(1/LC)1/2t]+A'cos[(1/LC)1/2t]-B'jsin[(1/LC)1/2t]+B'cos[(1/LC)1/2t]i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t]令A=(A'-B')j,B=A'+B'，则齐次方程通解为i=Asin[(1/LC)1/2t]+Bcos[(1/LC)1/2t]而现在要求特解的方程，右端的自由项为一余弦函数

5、，不易进行处理。如果尝试把它化成指数函数，就会容易一些。要将余弦函数化为指数函数，要用到欧拉公式ejx=jsinx+cosx，其中jsinx为虚部，cosx为实部。根据定理二，可以直接在自由项后加一个带虚数的正弦函数，构成指数函数，求出特解后取实部便是。则先解如下的方程：LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)+EmCωjsin(ωt+φ)LC*d2i/dt2+i=EmCω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]LC*d2i/dt2+i=EmCωe(ωt+φ)jLC*d2i/dt2+i=EmCωeωjt+φjLC*d2i/dt2+i

6、=EmCωeφjeωjt为方便记录，令EmCωeφj=k，则LC*d2i/dt2+i=keωjt其自由项是一个指数函数，其指数的系数为ωj，要看它是否与特征方程根相等。于是分三种情况。情况一：ωj不是特征方程根（即ω≠(1/LC)1/2）观察方程L*d2i/dt2+i=keωjt的右端，指数函数前的整式为零次，则左端若提出了eωjt，也应为零次。明显i提出eωjt后的次数一定要高于二阶导数d2i/dt2的次数，因此i为零次整式与指数函数eωjt的积。设i=aeωjt，代入方程，得LC*(aeωjt)''+aeωjt=keωjt-LCω2aeωjt+

7、aeωjt=keωjt-LCω2a+a=k(1-LCω2)a=ka=k/(1-LCω2)所以微分方程LC*d2i/dt2+i=keωjt的特解为：i=aeωjti=k/(1-LCω2)*eωjt前面令EmCωeφj=k，则i=EmCωeφj*eωjt/(1-LCω2)i=EmCωeφj+ωjt/(1-LCω2)i=EmCωe(ωt+φ)j/(1-LCω2)根据欧拉公式ejx=jsinx+cosx，有i=EmCω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]/(1-LCω2)i=EmCω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ)+EmCω/(1-LCω2)

8、*jsin(ωt+φ)根据定理二，微分方程LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)的一个特解为：i=EmCω/