高考文科数学不等式选讲考点精细选.doc

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1、不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)

4、f(x)

5、0)⇔－a

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≤c，

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

14、a

15、－

16、b

17、≤

18、a±b

19、≤

20、a

21、＋

22、b

23、.3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，b

24、i(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

25、α

26、·

27、β

28、≥

29、α·β

30、，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．练习精细选1．若关于实数x的不等式

31、x－5

32、＋

33、x＋3

34、

35、x－5

36、＋

37、x＋3

38、＝

39、5

40、－x

41、＋

42、x＋3

43、≥

44、5－x＋x＋3

45、＝8，∴(

46、x－5

47、＋

48、x＋3

49、)min＝8，要使

50、x－5

51、＋

52、x＋3

53、

54、

55、x－2

56、－1

57、≤1的解集为________．答案　[0,4]解析　由

58、

59、x－2

60、－1

61、≤1得－1≤

62、x－2

63、－1≤1，解得0≤x≤4.∴不等式的解集为[0,4]．3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案　2解析　由柯西不等式(a2＋b2)(c2

64、＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.4．若不等式

65、kx－4

66、≤2的解集为{x

67、1≤x≤3}，则实数k＝________.答案　2解析　∵

68、kx－4

69、≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x

70、1≤x≤3}，∴k＝2.5．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．答案　9解析　＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．三、典型题型分析题型一　含绝对值

71、的不等式的解法例1　已知函数f(x)＝

72、2x－1

73、＋

74、2x＋a

75、，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．审题破题　(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围．解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)

76、2x－1

77、＋

78、2x－2

79、－x－3<0.设函数y＝

80、2x－1

81、＋

82、2x－2

83、－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，

84、所以原不等式的解集是{x

85、0－1，则－<，∴f(x)＝

86、2x－1

87、＋

88、2x＋a

89、当x∈时，f(x)＝a＋1，即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．∴a＋1≤－＋3，即a≤，∴a的取值范围为.点评：　这类不等式的解法是高考的热点．(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种

90、较好的方法．变式训练1　已知函数f(x)＝

91、x＋1

92、＋

93、x－2

94、－m.(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．解　(1)由题设知

95、x＋1

96、＋

97、x－2

98、>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2即

99、x＋1

100、＋

101、x－2

102、>m＋2，∵x∈R时，恒有

103、x＋1

104、＋

105、x－2

106、≥

107、(x＋1)－(x－2)

108、＝3，不等式

109、x＋1

110、＋

111、x－2

112、≥m＋2解集是R，∴m

113、＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．题型二　不等式的证明例2　已知函数f(x)＝m－

114、x－2

115、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.审题破题　(1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明．(1)解　因为f(x＋2)＝m－

116、x

117、，f(x＋2)≥0等价于

118、x

119、≤m.由

120、x

121、≤m有解，得m≥0，且其解集为{x

122、－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1