椭圆及其标准方程（第一课时）.doc

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1、椭圆及其标准方程教学目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系教学重点：椭圆的定义及标准方程教学难点：标准方程的推导教学过程：一、引入师：同学们，我们上两节课学习了方程与曲线的关系，把几何图形与坐标进行了挂钩，也即是一条曲线满足某个方程，我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上，这条曲线上的点一定能满足这个方程，我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤：建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验。曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的曲线，今天我们将要学习一种特殊的曲线，这个是我们神六飞行的一些片段，好通过

2、这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆，我们知道除了神六，我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆，椭圆在我们的生活中也是随处可见。既然椭圆在生活中是如此的常见，人们是怎么准确的画出椭圆的呢？在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，去半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？同学们看一看课本的探究活动，前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆，我们现在来看后一部分，把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长），对，鉴于用绳子操作起来比较麻烦，通过几何画板来给同学们演示一下。画

3、板上有固定的两点F1，F2，M三个点，现在我们保持MF1+MF2不变，同学们观察M点会画出怎样的一条轨迹，留意这几个数字的变化。根据这一变化，我们给椭圆下个定义：平面内到两个定点的F1，F2的距离之和等于常数（大于

4、F1F2

5、）的点的轨迹叫做椭圆。问：为什么这个常数要大于

6、F1F2

7、？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？生：学生讨论师：好我们现在同样通过几何画板来看看。我们可以看到当等于

8、F1F2

9、是轨迹是线段F1F2，当小于

10、F1F2

11、时，这样的M点不存在。师：给F1，F2这两个点一个新名词，叫做椭圆的焦点，而这两点的距离叫做是椭圆的焦距。为了书写方便我们规定

12、F1F2

13、

14、=2c，MF1+MF2=2a，再重述遍椭圆的定义师：椭圆的定义已经给出，椭圆也是一条曲线，他有没有方程呢?再回忆一下求曲线方程的一般步骤。生：回答求曲线方程的步骤师：现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？生：同学们各抒己见，最后得出以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程．以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；师：我们选择方案一来推导椭圆的方程解 1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任

15、意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：

16、MF1

17、+

18、MF2

19、=2a，4)化简．师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？学生

20、此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？师：请结合图形找出方程中a、c的关系．生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？师：其中a与b的关系如何？为什么？生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程2)b的选取虽

21、然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案二(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？如果此处学生不能给出，教师将自行给出师：请同学们课后进行推导验证．师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．)师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同 定义 

22、MF1

23、+

24、MF2

25、=2a(2a>2c>0) 图形  方程   焦点   a,b,c之间的关系 师