2013届高中数学第一轮总复习 第7章第46讲导数的综合应用课件 理 新课标.ppt

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1、第七章导数及其应用导数的综合应用第46讲与利润及其成本有关的最值问题假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？利用导数解决科技、经济、生产和生活中的最值问题，是新课程高考要求考生必须掌握的内容．在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实际意义．在应用问题的设计上，高考多设置为单峰函数，以降低要求．点评【变式练习1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的

2、函数关系为P＝24200－1/5x2，且生产x吨该产品的成本为R＝50000＋200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大值为f(200)＝－1/5×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．答：每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．效率最值问题【例2】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．已知AB＝20km，BC＝10km.为

3、了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为ykm.(1)设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数；(2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数．本题求解的切入点在于根据图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法求出函数的最小值，便可确定点C的位置．点评【变式练习2】如图，用宽为a、长为

4、b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽．问斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？几何模型的最优化问题【例3】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t>0)．试问当x取何值时，容积V有最大值？利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．

5、点评【变式练习3】要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500m3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？，x0（0，）(,)（，2p)2pf′(x)＞00＜00＞0f(x)单调增极大值单调减极小值单调增4.将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截才能使正方形与圆的面积之和最小？5.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问

6、供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？1．利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域．2．在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点．