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1、一、导数与微分的运算法则第七讲微分运算与高阶导数1.四则运算求导法则设函数u(x),v(x)在x可导,则一、导数与微分的运算法则(1)函数u(x)±v(x)在x可导,且[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)二、高阶导数(2)函数Cu(x)在x可导(C为常数),且[Cu(x)]′=Cu′(x)2011-9-512011-9-52(3)函数[u(x)⋅v(x)]在x可导,且[证](3)设y=u(x)⋅v(x)Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x)[u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x
2、+Δx)u(x)+u(x)v(x+Δx)−u(x)v(x)(4)函数在x可导,且v(x)=Δu⋅v(x+Δx)+u(x)⋅ΔvΔyΔuΔvu(x)u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)=⋅v(x+Δx)+u(x)⋅[]′=ΔxΔxΔx2v(x)[v(x)]ΔyΔuΔvy′=lim=lim[⋅v(x+Δx)+u(x)⋅]Δx→0ΔxΔx→0ΔxΔx(v(x)≠0)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)可导必连续2011-9-532011-9-54[例7]求函数[例8]求函数f(x)=tanx的导数53y=x−4x+2cosx−lnx+sin2sinx[解](tanx)′
3、=()′的导数cosx[解](sinx)′⋅cosx−sinx⋅(cosx)′=253cosxy′=(x−4x+2cosx−lnx+sin2)′cosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)53==(x)′−4(x)′+2(cosx)′−(lnx)′+(sin2)′cos2x122421==secx.(tanx)′=secx=5x−12x−2sinx−cos2xx1=2cosx2011-9-552011-9-5612、复合函数导数公式Δy⎛ΔyΔu⎞⎛Δy⎞⎛Δu⎞[证]lim=lim⎜⋅⎟=⎜lim⎟⎜lim⎟Δx→0ΔxΔx→0⎝ΔuΔx⎠⎝Δu→0Δu⎠⎝Δx→0Δx⎠（1
4、）复合函数微分法（链式法则）dydu=⋅=f′(g(x))g′(x)设函数y=f(u)在点u可导,函数u=g(x)dudx在点x可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x也可导,且上面的证法有没有问题？df[g(x)]=f′[g(x)]⋅g′(x)当Δx→0时,Δx≠0dx不能保证中间变量的增量dydydu或=⋅dxdudxΔu=g(x+Δx)−g(x)总不等于零2011-9-572011-9-58ΔyΔyΔuΔu[证]y=f(u)可导⇒lim=f′(u)⇒Δlimx→0=f′(u)⋅Δlimx→0+Δlimx→0α⋅Δlimx→0Δu→0ΔuΔxΔxΔx⇒Δy=f′(u)+αu
5、=g(x)可导⇒u=g(x)连续(limα=0)ΔuΔu→0Δx→0⇒Δu→0当Δu≠0时,上式化为Δy=f′(u)⋅Δu+α⋅Δu(1)⇒limα=limα=0Δx→0Δu→0当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)−f(u)=0df[g(x)]Δy⇒=lim=f′(u)⋅g′(x)(1)式仍然成立！dxΔx→0ΔxΔyΔuΔud[f(g(x)]⇒=f′(u)⋅+α⋅⇒=f′(u)⋅g′(x)ΔxΔxΔxdx2011-9-592011-9-510（2）微分的形式不变性(复合函数微分法则)因此对于自变量x,我们将微分写成设函数y=f(u)和u=g(x)均为可微df(x)=f′(x)Δ
6、x=f′(x)dx函数,则复合函数y=f[g(x)]也可微,df(x)=f′(x)dx且其微分为当u=g(x)≠x时,du≠Δudy=f′(u)du=f'(u)u'(x)dx对于中间变量u=u(x),不能将微分写成[证]dy=f′[g(x)]⋅Δxxdf[u(x)]=f′(u)Δu=f′[g(x)]⋅g′(x)Δx=f′(u)⋅du但有df[u(x)]=f′(u)du=f'(u)u'(x)dx当u=g(x)=x时,有不论y是自变量x还是中间变量u微分的du=g′(x)Δx=Δx⇒dx=Δx的函数，微分形式不变形式不变性2011-9-5112011-9-51223xπ⎛x−1⎞2
7、[例2]求函数y=ln[tan(+)]的导数.[例1]求函数y=⎜⎟的导数.24⎝x+1⎠xπ[解]设y=lnu,u=tgv,v=+dy3x−11dx−124⎛⎞⎛⎞[解]=⎜⎟2⋅⎜⎟xπ111dx2⎝x+1⎠dx⎝x+1⎠y′=(lnu)′⋅(tgv)′⋅(+)′=⋅⋅xuvx224ucosv213⎛x−1⎞22111=⎜⎟⋅2=⋅⋅2⎝x+1⎠(x+1)tg(x+π)cos2(x+π)2242413(x−1)211=5===secx(x+1)2sin(x+π)cosx22011-9-5
