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1、第五讲一、函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态,函数连续的定义及性质在通常意义下，对函数连续性有三种一、函数连续性的定义描述：♦当自变量有微小变化时，因变量的二、函数连续性的基本性质变化也是微小的；♦自变量的微小变化不会引起因变量的三、初等函数的连续性跳变；四、闭区间上连续函数的性质♦连续函数的图形可以一笔画成,不断开.2011-9-712011-9-72例如：⎧1,x≠0,y=f(x)=⎨在点x=0处间断2⎩2,x=0y=x在(−∞,+∞)上连续yy=sinx2•1oy=tanxxππO在(−,)上连续222011-9-732011-9-74⎧x+1,x<0,⎪y=g(x)=
2、⎨0,x=0,在点x=0处间断在点x=0处间断⎪⎩x−1,x>0.yox•Oo2011-9-752011-9-761以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切[注意1]函数f在点x0处连续蕴涵以下地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.三个条件,缺一不可（一）定义(1)f在点x0的某邻域内有定义;定义1：设f(x)在x0的某邻域内有定义,(2)极限limf(x)存在;x→x0如果limf(x)=f(x)0(3)极限limf(x)与函数值f(x)相等.x→x0x→x00则称函数f在点x处连续,0以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.称x是函数f的一个连续点;0[注意2]函数f在点x处
3、连续意味着极限运算0否则称函数f在点x处间断,0与函数运算可以交换顺序.称x是函数f的一个间断点.0limf(x)=f(limx)=f(x)0x→x0x→x02011-9-772011-9-78用ε−δ语言描述函数f(x)在点x处连续:定义2：（函数在一点的单侧连续性）0设函数f(x)在(a,x]上有定义,且0∀ε>0,∃δ>0,∀x:x−x0<δ,恒有lim−f(x)=f(x0)x→x0f(x)−f(x)<ε0则称f(x)在x处左连续;0设函数f(x)在[x,b)上有定义,且0limf(x)=f(x)+0x→x0则称f(x)在x处右连续;02011-9-792011-9-710定义3：
4、（函数在区间上的连续性）（二）间断点的分类(1)若函数f(x)在开区间(a,b)的根据间断点的不同情况，可以分为三类：每一点处都连续,则称f(x)在开区间1.可去型间断点(a,b)内连续.记作f∈C(a,b)limf(x)存在,但是不等于f(x).0x→x0(2)若函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且在点a右连续,在点b左连续,可去型间断不是本质性的间断,可以重新则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.定义,令f(x)=limf(x)使其连续.0记作f∈C[a,b]x→x02011-9-7112011-9-71222.第一类间断点sinx[例如]f(x)=在点x=0没有定义xlimf(
5、x)和limf(x)都存在,但是不相等−+x→x0x→x0sinx但是lim=1故x=0是可去型间断点函数f(x)在点x0处发生跳跃,跃度等于x→0xf(x−0)−f(x+0).(limf(x)−limf(x))00+−x→x0x→x0⎧sinx⎪,x≠0[例]符号函数若令f1(x)=⎨x⎧−1,当x<0时,⎪⎩1,x=0y=sgnx=⎪⎨0,当x=0时,⎪⎩1,当x>0时.则x=0就成为f(x)的一个连续点.1x=0是第一类间断点2011-9-7132011-9-7143.第二类间断点二、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：limf(x)和limf(x)至少一个不存在−+x
6、→x0x→x0设f(x)在x的某邻域内有定义,则0[例]1下列命题等价y=x(1)limf(x)=f(x)x=0是第二类间断点0x→x01(2)f(x)=f(x)+α(x)y=sin0x(其中limα(x)=0)x→x02011-9-7152011-9-716（3）f在点x既左连续又右连续（二）连续函数的有界性：0limf(x)=limf(x)=f(x0)若函数f在点x0连续,则f在x0的−+x→x0x→x0某邻域上有界(简称f在点x有界)0(4)limΔf(x)=00Δx→0（三）连续函数的保号性：Δx=x−x,Δf(x)=f(x)−f(x)000若函数f在点x连续,且f(x)≠0,0
7、0(5)对任何收敛于x的数列{x}恒有0n则f在点x的某邻域上保号.即0limf(x)=f(x)n→∞n0∃δ>0,使在(x−δ,x+δ)上00f(x)与f(x)同号.02011-9-7172011-9-7183（四）连续函数的运算性质：（五）关于反函数的连续性若f,g都在点x连续,则0若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上严格(1)对任意常数α,β,函数αf+βg也在−1x连续单调且连续,则其反函数x=f(y)在闭0(2)f⋅g也
