数学物理方法第7章2.ppt

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1、7.2.3傅里叶变换式的物理意义——频谱傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以为周期的周期函数，且满足狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数(7.2.16)其中,我们将称为的第次谐波，称为第次谐波的频率．由于其中称为初相，称为第次谐波的振幅，记为，即（7.2.17）若将傅里叶级数表示为复数形式，即(7.2.18)其中恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然次谐波的振幅与复振幅有下列关系：（7.2.19）当取这些数值时，相应有不同的频率和不同的振幅，所以式(7.2.19

2、)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱（简称频谱）.若用横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，把点用图形表示出来，这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱不连续的，称之为离散频谱．的图形是7．3傅里叶变换定义7.3.1傅里叶变换的定义由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义定义7.3.1傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件，称表达式（7.3.1）为的傅里叶变换式,记作．我们称函数为的傅里叶变换，简称傅氏变换（或称为像函数）．定义7.3.2傅里叶逆变换如果(7

3、.3.2)则上式为的傅里叶逆变换式，记为我们称为（或称为像原函数或原函数）．的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换，即有(7.3.3)或者简写为7.3.2多维傅氏变换在多维（维）情况下，完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下：它的逆变换公式为：三维情况下用矢量表示傅氏变换7.3.3傅里叶变换的三种定义式其中在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互转换，特给出如下关系式：第一种定义式2.第二种定义式3.第三种定义式三者之间的关系为三种定义可统一

4、用下述变换对形式描述特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如，读者应能理解．本书采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,若未特殊申明，均使用的是第二种定义式．例求矩形脉冲的复数数形式的付氏变换。解:例求单锯齿波f(t)的复数数形式的付氏变换。解：例求f(x)=e-a

5、x

6、的复数数形式的付氏变换(a>0)解：因此得到故7.3.4广义傅里叶变换前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件，那么对一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数，正、余弦函数等都无法确定其傅氏变换．这无疑限制了傅氏变换的

7、应用．所以我们引入广义傅氏变换概念系指函数及其相关函数的傅氏变换．在后面我们将看到，函数的傅氏变换在求解数理方程中有着特殊的作用．这里先介绍其有关基本定义和性质．1.函数定义定义7.3.3函数如果一个函数满足下列条件，则称之为函数，并记为(7.3.4)且(7.3.5)函数的付氏变换我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的函数的另一定义定义7.3.4函数如果对于任意一个在区间上连续的函数恒有则称满足上式中的函数为函数，对于任意的连续可微函数,定义函数的导数为（7.3.6）根据上式显然有（7.3.7）由函数定义7.3.4有(7.3.8)2.函数性质性质1对于的实常

8、数，有(7.3.9)性质2设，则当时，即对应为，故为偶函数．傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。1.线性性质傅里叶变换是一种线性运算。若则其中a和b均为常数2.对称性若则可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如2.延迟性表明若在时域平移时间t0，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改

9、变t0。若则3.频移性频移性说明若信号乘以ej0t，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e0t，这就使频谱中的每条谱线都必须平移0，亦即整个频谱相应地搬移了0位置。若则频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号cos0t或sin0t，即原函数导数的Fourier变换如果f(x)满足Fourier积分定理的条件，设F[f(x)]=F(),则F[f'(x)]=iF[f(x)]=iF()可以证明F[f(n)(x)]=(i)nF()像函数

10、导数的Fourier反演