SL问题与分离变量法.ppt

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1、一、本征值问题本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔型方程斯特姆—刘维尔型边界条件斯特姆—刘维尔本征值问题的性质可数性：存在可数无限多个本征值；非负性：所有本征值均为非负数；正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负；k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆—刘维尔型边界条

2、件周期性边界条件三类齐次边界条件有界性边界条件典型的斯特姆—刘维尔本征值问题abkqρ本征值问题0L1010L101-111-x2010bxm2/xx本征函数系的正交性和完备性正交性完备性展开系数典型例题例题1、特征值问题特征函数正交性完备性例题2、特征值问题特征值和征函数正交性完备性二、拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系三、二维区域上波动方程的分离变量法例：设边界固定,均匀且柔软的矩形膜,其长为,宽为，作微小横振动,初始位移为,初始速度为

3、.求此膜作自由振动的规律。设为膜的位移,则上述物理问题可归结为求解下列定解问题：解：设代入方程得：其中为分离常数,记.从而得到关于的常微分方程由边界条件,得因此得特征值问题求得特征值和对应的特征函数为类似地,我们得到以及关于的特征值问题其特征值和对应的特征函数为记其通解为于是得到利用叠加原理,得到原定解问题的形式解，代入关于T的方程，得：其中系数下面,我们利用初始条件确定系数因为由三角函数在矩形区域上的正交性,得其中四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法例：设一半径为的薄圆盘,上下两面绝缘,圆周温度分布已知.求稳恒状态下圆盘内的温度分布.

4、解：求温度分布规律,就是解下列边值问题由于区域为圆域,不能直接分离变量。（*）我们考虑作极坐标变换,则边值问题可化为由于圆盘内温度不可能为无限,特别圆盘中心温度也一定有限,所以有自然条件又因为在极坐标中,与表示同一点,故其中有周期条件设代到定解问题的方程中，得因此有于是得到两个特征值问题由自然条件和边界条件得和（1）（2）当时,只有零解;当时,有非零解，先求解第一个特征值问题当时,特征值问题(1)中方程的通解为由周期性条件得故得特征值和对应的特征函数下面求解第二个特征值问题第二个特征值问题中的方程是欧拉方程,当时,其通解为当时,其通解为

5、由的有界性,推得所以于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期条件的一列非零解其中根据叠加原理,可设满足定解问题(*)中方程的形式解为代入(*)中的边界条件,得上式可以看作在上的傅里叶展开式,所以为了应用上的方便,通常需要把解表示成积分形式其中上述公式称为圆域内的泊松公式.它的作用在于将解表成了积分形式,便于从理论上进行研究.函数称为泊松核（**）可以证明,如果在上连续,且则是边值问题的古典解作业：讲义111页1（2），3（1）