历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数.pdf

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1、第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）y(xy)ln(1)x1．计算dxdy____________，其中区域D由直线xy1与两D1xy坐标轴所围成三角形区域.01解令xyu,xv，则xv,yuv，dxdydetdudvdudv，11y(xy)ln(1)xulnuulnvdxdydudvD1xyD1u1ulnuuuu0(0dv0lnvdv)du1u1u21ulnuu(ulnuu)du01u1u21udu（*）01u22242令t1u

2、，则u1t，du2tdt，u12tt，u(1u)t(1t)(1t)，024(*)2(12tt)dt1112423151620(12tt)dt2ttt35015222．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3xf(x)dx2,则f(x)____________.022解令Af(x)dx，则f(x)3xA2，022A(3xA2)dx82(A2)42A,04210解得A。因此f(x)3x。332x23．曲面zy2平行平面2x2yz0的切平面方程是__________.22x2解因平

3、面2x2yz0的法向量为(2,2,1)，而曲面zy2在(x0,y0)2处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)与(2,2,1)平行，因此，由zxx，zy2y知2zx(x0,y0)x0,2zy(x0,y0)2y0，即x02,y01，又z(x0,y0)z(2,1)5，于是曲面2x2yz0在(x0,y0,z(x0,y0))2x2处的切平面方程是2(x2)2(y1)(z5)0，即曲面zy2平行平面22x2yz0的切平面方程是2x2yz10。f(y)y4

4、．设函数yy(x)由方程xeeln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，2dy则________________.2dxf(y)y解方程xeeln29的两边对x求导，得f(y)f(y)yexf(y)yeeyln29yf(y)11因eln29xe，故f(y)yy，即y，因此xx(1f(y))2dy1f(y)yy222dxx(1f(y))x[1f(y)]2f(y)1f(y)[1f(y)]23223x[1f(y)]x(1f(y))x[1f(y)]x2xnxeeee不会：二、（5分）求极限

5、lim()x，其中n是给定的正整数.x0n解法1因x2xnxex2xnxeeeeeeenlim()xlim(1)xx0nx0n故x2xnxeeeneAlimx0nxx2xnxeeenelimx0nxx2xnxe2ene12nn1elimeex0nn2因此x2xnxen1eeexAelim()ee2x0n解法2因x2xnxex2xnxeeeln(eee)lnnlimln()xelimx0nx0xx2xnxe2ene12nn1elimeex2xnx

6、x0eeen2故x2xnxen1eeexAelim()ee2x0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)f(xt)dt，且limA，A为常数，求0x0xg(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.f(x)f(x)解由limA和函数f(x)连续知，f(0)limf(x)limxlim0x0xx0x0x0x11因g(x)f(xt)dt，故g(0)f(0)dtf(0)0，001x因此，当x0时，g(x)f(u)du，故x0x0f(u)duf(x)limg(x)limlimf(0)0x0x0xx0

7、1当x0时，1xf(x)g(x)f(u)du，x20x1xxf(t)dtf(t)dtg(x)g(0)x00f(x)Ag(0)limlimlimlim2x0xx0xx0xx02x21xf(x)f(x)1xAAlimg(x)lim[f(u)du]limlimf(u)duAx0x0x20xx0xx0x2022这表明g(x)在x0处连续.四、（15分）已知平面区域D{