实变函数与泛函分析基础第三版(程其襄)+课后答案.pdf

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1、VWSR1.?A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).XUux∈(A∪(B∪C)).px∈A,9x∈A∪B,x∈A∪C,)x∈(A∪B)∩(A∪C).px∈B∩C,9!0x∈A∪Bdx∈A∪C,x∈(A∪B)∩(A∪C),*A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C).V$-[ux∈(A∪B)∩(A∪C).px∈A,m0x∈A∪(B∩C).px6∈A,/x∈A∪Bdx∈A∪C,x∈Bdx∈C,%x∈B∩C,!0x∈A∪(B∩C),*(A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C).%A∪(B∩C)=(A∪B)

2、∩(A∪C).2.?(1)A−B=A−(A∩B)=(A∪B)−B;(2)A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C);(3)(A−B)−C=A−(B∪C);(4)A−(B−C)=(A−B)∪(A∩C);(5)(A−B)∩(C−D)=(A∩C)−(B∪D);(6)A−(A−B)=A∩B.XU(1)A−(A∩B)=A∩∁s(A∩B)=A∩(∁sA∪∁sB)=(A∩∁sA)∪(A∩∁sB)=A−B;(A∪B)−B=(A∪B)∩∁sB=(A∩∁sB)∪(B∩∁sB)=A−B;(2)(A∩B)−(A∩C)=(A∩B)∩∁s(A∩

3、C)=(A∩B)∩(∁sA∪∁sC)=(A∩B∩∁sA)∪(A∩B∩∁sC)=A∩(B∩∁sC)=A∩(B−C);(3)(A−B)−C=(A∩∁sB)∩∁sC=A∩∁s(B∪C)=A−(B∪C);(4)A−(B−C)=A−(B∩∁sC)=A∩∁s(B∩∁sC)=A∩(∁sB∪C)=(A∩∁sB)∪(A∩C)=(A−B)∪(A∩C);(5)(A−B)∩(C−D)=(A∩∁sB)∩(C∩∁sD)=(A∩C)∩∁s(B∪D)=(A∩C)−(B∪D);(6)A−(A−B)=A∩∁s(A∩∁sB)=A∩(∁sA∪B)=A∩B.

4、3.?(A∪B)−C=(A−C)∪(B−C);A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C).XU(A∪B)−C=(A∪B)∩∁sC=(A∩∁sC)∪(B∩∁sC)=(A−C)∪(B−C);(A−B)∩(A−C)=(A∩∁sB)∩(A∩∁sC)=A∩∁sB∩∁sC=A∩∁s(B∪C)=A−(B∪C).S∞T∞4.?∁s(Ai)=∁sAi.i=1i=1S∞S∞XUux∈∁s(Ai),9x∈S,x6∈Ai,*&n(i,x6∈Ai,%x∈∁sAi,*)i=1i=11T∞T∞S∞x∈∁sAi.ux∈∁sAi,9&n(i

5、,x∈∁sAi,x∈S,x6∈Ai,*x∈S,x6∈Ai,i=1i=1i=1S∞S∞T∞x∈∁s(Ai).%∁s(Ai)=∁sAi.i=1i=1i=1SSTT5.?(1)(Aα)−B=(Aα−B);(2)(Aα)−B=(Aα−B).α∈Λα∈Λα∈Λα∈ΛSSSSXU(1)Aα−B=(Aα)∩∁sB=(Aα∩∁sB)=(Aα−B);α∈Λα∈Λα∈Λα∈ΛTTTT(2)Aα−B=(Aα)∩∁sB=(Aα∩∁sB)=(Aα−B).α∈Λα∈Λα∈Λα∈ΛnS−16.u{An}}$U>8B1=A1,Bn

6、=An−(Aν),n>1.?{Bn}}$U:ν=1SnSnG>)dAν=Bν,1≤n≤∞.ν=1ν=1XUpi6=j,.ui

7、U{An}r>7>
TlimAn=(0,∞);n→∞ux∈(0,∞),98N,yxNw0)x2(An,x∈nlim→∞An,1mnlim→∞An⊂(0,∞),%nlim→∞An=(0,∞).limAn=∅;n→∞p0x∈limAn=∅,98N,yn(n>N,0x∈A

8、n.*p2n−1>Nwn→∞x∈A,12n−10N,x∈An,%x∈Am⊂Am,n→∞m=n+1n=1m=nS∞T∞S∞T∞T∞%limAn⊂Am.ux∈Am,90n