数学答案：【2012考研学员普发】公共课阶段测评答案—.pdf

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1、机密★启用前2012届全国硕士研究生入学统一考试(海文考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案)高等数学(数三)(第二次)答题注意事项1．本试卷考试时间90分钟，满分100分.2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对.1/5一、(本题满分4分)【答案】D．【解析】因为f′(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又f(x)是奇函数，故f(0)=0，且2tanxlimF(x)=limf(x)⋅=0⋅1=0，于是F(x)在x=0处连续，2x→0x→0ex−12tanxf(x)⋅−02F(x)−F(0)ex−1F′(0)=lim=limx→0

2、x−0x→0x2f(x)−f(0)tanx=lim⋅=f′(0)⋅1=f′(0)，故F(x)在x=0处可导，应选D.2x→0x−0ex−1二、（本题满分4分）【答案】B．【解析】方法一排除法．∞1（A）的反例，取an=，有limnan=0，但∑an发散．()()nn++1ln1n→∞n=1∞12（C）的反例，取an=3，∑an收敛，但limnan=∞．n→∞n2n=1∞1（D）的反例，取an=，∑an发散，但limnan=0．故（A）、（B）、（D）()()nn++1ln1n=1n→∞排除掉，只能选(B)．∞a1n方法二证明（B）是

3、正确．limnan=λ，即lim=λ．因为∑发散，由比较n→∞n→∞1nn=1n∞判别法的极限形式知，∑an也发散，选（B）．n=1三、（本题满分6分）【答案】-1．−(x+y)2dyx22【解析】视y=y(x)是x的函数，两边对x求导，于是e(1+)=∫sintdt+xsinxdx0dy令x=0，则右端为零，所以=−1.x=0dx四、（本题满分6分）x【答案】yxe−．2/5∂uxxx【解析】由=x,得uxyxycx(),=+(),又uxe(,)=xecxe+=()∂yxx∂ux于是cx()(=−1xe),uxyxy(),1=+−

4、(xe),所以=−yxe.∂x五、（本题满分12分）122x2(1sin2+−xe)设lim=a（a≠0），求n及a的值.nx→0x1122222ln1sin2()+−x2()1sin2+−xexex−12【解析】lim=limennxx→→00xx24cos2xxln1sin2+−x222x−4x2222()21sin2+x24cexxos2−−1sin2=elim=elim=limn+2n+1nx→0xx→0()nx+2nx+2x→022222244ex−−sin2x4xcos2x16exsin2+cos2x=lim=−=lim

5、a.n−1n−2nn+2x→0xnn()+2x→0x由题意可知，此极限值a不为零，又因为此时分子极限存在且不等于0,所以分母极限216e2必存在且也不等于0,故n=2,且此时ae=−=−2．24×六、（本题满分12分）ab+2设f()x在区间[,]ab上可导,且满足f()cosbb=∫2f()cosxxdx,其中ba−aπ0<<

6、、可导.由积分中值定理,可知存在一点ca∈(,)使得22ab+22ab+Fb()==∫2fx()cosxdxFc()(−a)=Fc()ba−−aba2显然，函数Fx()在[,]cb上满足罗尔定理，所以由罗尔中值定理得：至少存在一点ξ∈(,)(,)cb⊂ab使，Ff′()ξ=′()cosξξξξ−=f()sin0.即ff′()ξ=()tanξξ,ξ∈(,)ab.七、(本题满分13分)3/522计算二重积分I=+∫∫()xydxdy，其中Dx={(,)

7、(yx++−≤≥1)(y1)2,yx−}.D【解析】画出积分区域，如右图.在极坐标x

8、r=cosθ，yr=sinθ下，积分域边界曲线方3程为：r=−2(sinθcos)θ，θ=π，积分域为4π3πyDr=≤{(,)

9、0θθr≤−≤2(sincos),θθ≤}443πD2(sinθθ−cos)所以I=+()xydxdy=4dθθr(sinc+osθ)rdry=-x∫∫∫π∫0D483πox43=+−(sinθcos)(sinθθθθcos)d∫π343π2844=−=(sinθθcos).π334八、(本题满分13分)x设函数y=yx()满足微分方程y′′−+=322yye′，其图形在点(0,1)处的切线与曲线2y=−

10、+xx1在该点处的切线重合，求函数y=yx().x2【解析】方程y′′−+=322yye′对应的齐次方程的特征方程为λλ−320+=,特征根为x2xλ==1,λ2,故对应的齐次方程的通解为Ce+Ce.1212*x因为a=1为特征方程的