数值线性代数第五章上答案.pdf

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1、MadeByYong习题5证明等式(5.1.4)．［证明］考虑在方程组的解向量处的Taylor展式，则有，注意到：，于是上式可写为．２．设是由最速下降法产生的．证明：，其中．［证明］由Taylor展式易知．注意到：，由的正定性可知是正定的，因此，于是，从而第1页，共6页MadeByYong．３．试证明当最速下降法在有限步求得极小值时，最后一步迭代的下降方向必是的一个特征向量．［证明］假定在步迭代后，得到了精确解，即，从而有，记：，整理可得，即是说是Ａ的一个特征值，是其对应的特征向量．4．证明线性方程组(5.2.1)的解存在唯一．［证明］为证明(5.2.1)的解存在唯

2、一，只需证明其系数矩阵的行列式不为零．注意到：，其中由定理5.2.1可得第2页，共6页MadeByYong为了讨论方便，我们引入记号，则将代入后，得．５．设对称正定的，是互相共轭正交的，即．证明是线性无关的．［证明］若有一组数满足则对一切一定有注意到，由此得出：即所有的＝０．因此，是线性无关的．６．设为对称正定矩阵，从方程组的近似解出发，依次求使得，第3页，共6页MadeByYong其中是阶单位矩阵的第列，．然后令．验证这样得到的迭代算法就是Ｇ－Ｓ迭代法．［证明］在下面的讨论中，我们用表示第迭代的向量，表示的第个分量．第一步：从出发，沿方向搜索得新的极小值点，则，其

3、中，从而；完成第一步后，可以看出与直接从做Ｇ－Ｓ迭代一步所得的第一个分量相同．现在考虑第迭代．假定的前个分量符合Ｇ－Ｓ迭代形式，现从出发，沿进行极小化搜索，得极小值点，其中．从而第4页，共6页MadeByYong这里．显然令，则恰与对经一次Ｇ－Ｓ迭代后的近似解完全一致．７．设是一个只有个互不相同的特征值的实对称矩阵，是任一维实向量．证明：子空间的维数至多是．［证明］由于是实对称矩阵，因此存在一个完全实特征向量系．不妨设的特征值为其重数为，，且设关于的特征向量为，是的单位正交实特征向量系，于是对任一维实向量有．从而现在用归纳法证明的维数至多是．当，假定存在个实数使．在

4、上式两边同乘以，则得到．将其看作是的方程，则系数矩阵为第5页，共6页MadeByYong，显然，它是一个秩不超过１的矩阵．因此，该方程的解系的自由变量至少有个．这说明的维数为到多为１．第6页，共6页