2014北约自主招生数学试题及解答.pdf

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1、2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60的扇形面积为6,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.23.如果fx()lg(x2axa)的值域为R,求a的取值范围.a2bfa()2()fb4.设f(),且ff(1)1,(4)7,求f(2014).3315.已知xy1且xy,都是负数,求xy的最值.xy22x116.已知fx()arctanc在(,)上是奇函数,求c.14x442014年北约自主招生·数学试题－17.证明tan3是无理数.8

2、.已知实系数二次函数fx()与gx()满足3()fxgx()0和fx()gx()0都有双重实根,如果已知fx()0有两个不同的实根,求证gx()0没有实根.7169.aa,,,a是等差数列,M{aaa

3、1ijk13},问:0,,是否可以同时在1213ijk23M中,并证明你的结论.n10.已知xx,,,xR,且xxx1,求证:(2x)(2x)(2x)(21).12n12n12n2014年北约自主招生·数学试题－22014年北约自主招生试题参考答案121.【解】设扇形的半径

4、为r,则由6r,得r6.23于是扇形的弧长为l62,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,32所以底面面积为1,也所以圆锥的表面积为S67.334CCC10742.【解】由题知所有分组方法有N2100种.2A2223.【解】由题意ux2axa的值域包含区间(0,),则ux2axa与x有交点,2故(2)aa40,解得a1或a0.421ff(4)2(1)4.【解】由ff(1)1,(4)7得ff(2)()3;33124ff(1)2(

5、4)*ff(3)(),由数学归纳法可5推导得fn()2n1,nN,33所以f(2014)4027.5.【解】由xy0,0可知,xy1

6、xy

7、1

8、

9、

10、

11、1xy,2(

12、

13、

14、

15、)xy11所以

16、xy

17、

18、

19、

20、

21、xy,即xy(0,],444111令txy(0,],则易知函数yt在(0,1]上递减,所以其在(0,]上递减,4t41117于是xy有最小值4,无最大值.xy446.【解】奇函数f(0)0,故carctan2.2tantantan7.【证明】由三角公式

22、tan2,tan(),21tan1tantan若tan3是有理数,则tan6,tan12,tan24为有理数,再由tan6和tan24可得tan30为有3理数,这与tan30为无理数矛盾!因此,tan3是无理数.3228.【证】由题可设3()fxgx()axb(),()fxgx()axb(),其中aa0,0,112212112222则fx()[(axb)axb()],()gx[(axb)3(axb)],1222112244由fx()0有两个不同的实

23、根,则必有aa,异号,且aa0,12121222此时fx()[(aax)2(ababxab)ab],121122112242222即4(abab)4(aa)(abab)4aab(b)0,所以bb,1122121122121212122故此时观察gx()[(axb)3(axb)]可知,11224aa,3同号,且aa30,bb,故gx()0恒成立,即证明gx()0没有实根.1212127169.【解】不可以同时在M中,下面给予证明.假设0,,同时在M中,232014年北

24、约自主招生·数学试题－3*设aakd(1k13,kN),其中d为公差,则k*M{3a(ijkd)

25、1ijk13}{3amd

26、6m36,mN}3axd0,77(yxd),2于是存在正整数6xyz,,36,使得3,ayd从而2()zxd161633azd3yx21也所以,由于21,32互质,且yxz,x为整数,则有

27、yx

28、21,

29、zx

30、32,zx32716但

31、zx

32、36630,矛盾!假设错误,即证明0,,不可以同

33、时在M中.2310.【证】(一法:数学归纳法)①当n1时,左边2x2121右边,不等式成立;1*k②假设nkk(1,kN)时,不等式(2x)(2x)(2x)(21)成立.12k那么当nk1时,则xxxx1,由于这k1个正数不能同时都大于1,也不能同