北航有限元分析与应用期末复习题答案.pdf

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1、飞行器结构有限元练习题答案1、证明3结点三角形单元的插值函数满足Ni(xj,yj)=δij，及Ni+Nj+Nm=1。证明：3结点三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm形式如下：1Na=+()bx+cy(,ij,m)iiii2∆其中1xyii21∆=xyjj1xymmxy1y1xjjjja=b=−c=(ij,,m)iiixy1y1xmmmm根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的代数余子式乘积之和等于零。所以11xy11yxjjjjNx(

2、,y)=−(x+y)=⋅2∆=1iiiii22∆∆xy11yxmmmm11xy11yxjjjjNx(,y)=−(x+y)=⋅0=0ijjjj22∆∆xy11yxmmmm11xy11yxjjjjNx(,y)=−(x+y)=⋅0=0immmm22∆∆xy11yxmmmm即Nx(,y)=δijjij另外1NN++N=()a+bx+cy+ab+x+cy+a+bx+cyijmiiijjjmmm2∆1=+[(aa+a)+(b+b+b)x+(c+c+c)y]ijmijmijm2∆1=(2∆+⋅0xy+⋅0)=12∆122、图示3结点三角形单元

3、，厚度为t，弹性模量为E，泊松比ν=0，试求：插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，ae单元刚度矩阵K。解：3结点三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm形式如下：3a11Na=+()bx+cy(ij,,m)题2图iiii2∆1xyiixy1y1xjjjj其中21∆=xya=b=−c=(ij,,m)jjiiixy1y1xmmmm1xymm∵三角形三点坐标为：1(a,0)，2(0,a)，3(0,0)1111∴N=xN=yNx=−1−y123aaaauee∵==[NNIINI]{δ}[N]{δ}ijmv1xy00a−−

4、xy0∴[]N=a00xya0−x−yεbb00b0xijm1ee∵{}ε==εδ00cc0c{}=[B]{δ}yijm2∆γcbcbcbxyiijjmm1000−101∴[B]=00010−1a0110−1−1ee∵{σ}==[DD]{εδ}[][BS]{}=[]{δ}10ν100E又∵[]DE==ν100101−ν00(1−ν)/2001/21000−10E∴[]SB==[D][]00010−1a01/

5、21/20−−1/21/22000−200110−1−1Et0110−1−1eT[KB]=∆[][Dt][]B=400020−2−−21−103101−−−121323、以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。证明：平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如下：kk1112"k15k16u1fx1kk2122"k25k26v1fy1##%###=#kk"kkuf5152555

6、63x3kk6162"k65k66v3fy3令u=1，uu==0，vv==v=0123123则有f=k，f=k，f=kx111x231x351f=k，f=k，f=ky121y241y361单元所受合外力平衡，故x方向：ff++f=0xx12x3y方向：ff++f=0yy12y3所以k++kkk++kk+=0112131415161同理，其它各列刚度阵元素之和也为0。T由于刚度阵的对称性，[K]=[K]所以，刚度矩阵每一行元素之和为0。34、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系：x=+xLxL+

7、xLyy=L++yLyLiijjmmiijjmm证明：三角形的面积坐标如下：∆1iL==()a+bx+cyiiii∆∆2∆j1La==()+bx+cyjjjj∆∆2∆1mLa==()+bx+cymmmm∆∆2其中ai、bi、ci、aj、bj、cj、am、bm、cm、分别是行列式2∆的代数余子式。1xyii21∆=xyjj1xymm根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的代数余子式乘积之和等于零。所以xL++xLxLiijjmm1=+[

8、(abx+cyx)+(a+bx+cyx)+(a+bx+cyx)]iiiijjjjmmmm2∆1=+[(axax+ax)+(bx+bx+bx)x+(cxc+xc+x)y]iijjmmiijjmmiiiiii2∆1=+[02∆⋅xy+0⋅]=x2∆同理可得yL+yL