数理统计习题与解答_习题 1.pdf

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1、习题一1．设总体X服从泊松分布，即X的分布律为kλ−λPXk{}==e,k=0,1,2",λ>0,k!X,,,XX…是来自总体X的样本，试求：12nT2*2(1)(,,,)XX…X的联合分布律；(2)EX，，DXESES,.12nnn解：（1）X,,,XX…是来自总体X的样本，X服从泊松分布12nn∑xinnλλxii=1−−λnλPX(,,1122==xXx",)()Xnn=x=∏∏PXii=x=e=e，ii==11xxin!!12x!"x!n1EX===DXλ，X∑Xi，ni=1nnnn11111λEXE()(

2、===∑∑Xii)EX⋅n⋅λ=λ，DX()(=D∑∑Xii)==2DXnnnii==11nnnii==11nn222∑()XXi−=∑Xi−nX，i=1i=1nn222EXX((∑∑ii−=))EXn−=EXnD(1−=)Xn(1−)λii==11n221*2n2SXni=−=∑()X,SSnnnni=1−12n−1*2ES=λ，ES()=λ.nnn2．设总体X服从对数正态分布，即X的分布密度为121−−2(lnxμ)fx()=e2σ，0

3、)XX"X的联合分布密度。12n12n解：X,,,XX"相互独立同分布，且12n121−−2(lnxiμ)fx()=e2σ，ix2πσ则n12n1−−2∑(lnxiμ)2σfxx(,,"x)==∏fx()ei=112ninni=12n(2)πσ∏xii=1T3．设对总体X得到一容量为10的样本值(4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0)，试求*2样本均值x和样本方差s。nn11解：样本均值：xx==+∑i(4.52.0+"+4.0)=3.59;ni=110nn*21122n2

4、样本方差：sxni=−(∑∑(xx))=−ix=13.21。nn−−11ii==11n−14．设X,,,XX…和YY,,,…Y是两组样本，且有如下关系：YXabab=()−≠/，，012n12nii22均为常数，试求样本均值Y与X之间及样本方差S与S之间的关系式。YXnnn11Xa−11X−ai解：（1）YY==∑∑ii=()∑X−a=nnbii==11bni=1bnn2211Xai−X−a2SYYi=−∑∑()Y=(−)nnii==11bbn11221=−22∑()XXiX=Sbni=1bT5．设(,,,)XX⋅

5、⋅⋅X是来自总体X的样本，现又获得第n+1个观察值X，试证：12nn+11（1）Xnn+1=+XX()n+1−Xn;n+122n12（2）SSX=+−[()Xn],nnn++11nn++112T其中Xn和S是样本(X,XX,,⋅⋅⋅)的均值和方差。n12n证明：（1）根据题设有nn+111Xn=∑Xi，Xn+1=∑Xini=1n+1i=1nn111右边=+∑∑XXXini()+1−nnii==11+1nnn111=−XXni+1∑∑+Xinn++1(nn1)ii==11n11⎡⎤1=+XXni+1⎢⎥−⋅∑nn++

6、1(⎣⎦nn1)i=1nn+1111=+XXXnii+1⋅∑∑=⋅=左边.nn++11ii==11n+1（2）根据题设有：11nn++112222SXni+1=−∑∑()XXnn+11=−iX+,nn++11ii==1111nn2222SXni=−∑∑()XXnn=−iX.nnii==11nn⎡⎤112222右边=−⎢⎥∑XXinnn+(2X++11−XXXn+n)nn++11⎣⎦i=1nn21222nnn2=−+−∑XXXXin222nn++11nXnnnn++++1(i=11)(1)(1)n+1=−1122⎡⎤

7、2+⋅+2++∑Xnin2⎢⎥⎣⎦Xnn2nX++11XXnnn1(i=11)n+11122=−∑Xnin2⋅()X+X+1nn++1(i=11)n++11nn+11211222=∑∑∑Xi−⋅=2()XXii−Xn+1=左边.n+1i=1(1nn++)ii==1116．试证明nn222(1)∑∑()()()XXii−=μ−+−XnXμ;ii==11nn222(2)∑∑()Xii−=−XXnX.ii==11nn22证明（1）左边=−+∑∑Xii2Xnμμii==11n22=−+∑Xi2nXμnμi=1nn22222

8、2=−+−+∑XinXnX2nXμnμ=−∑()()XXnXi+−μ=右边i=1i=1nnnn2222222（2）左边=+−∑∑XiinX22XX=+−=−∑XinXnX∑XinX=右边。ii==11i=1i=1T7．设(3,2,3,4,2,3,5,7,9,3)为来自总体X的样本，试求经验分布函数Fx()。10解：对样本的数值按照从小到大重新排列如下：2,2