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1、第一章模糊理论的数学基础普通集合与普通关系一、集合二、关系模糊理论的数学基础普通集合与普通关系集合的有关概念集合的运算集合运算的性质映射集合的特征函数直积关系的概念关系的运算特征关系等价关系与划分1.集合的有关概念相等:空集:不含任何元素的集合,子集:真子集:则称一、集合幂集:U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U)例如：定理:如果有限集合U有n个元素，则其幂集P(U)有2n个元素。例：P()={}P(P())={,{}}2.集合的运算表“或”表“且”表“非”差ABEA∩B=ABEA∩BA⊂BABE
2、A∪BABE３.集合运算的性质(1)幂等律(idempotence)(2)交换律(commutativity)(3)结合律(associativity)(4)吸收律(absorptionlaws)(5)分配律(distributivity)(6)存在最大最小元(7)还原律(involution)(8)DeMorgan德.摩根律（对偶律）(9)补余律(complementation)推广：分配律、对偶律等可推广4.集合中元素的计数集合A＝{1，2，…，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作cardA＝n
3、也可以记为｜A｜＝n，空集的基数即｜｜＝0．注：有穷集、无穷集定义:设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝cardA＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集5.映射记号：例1：设都是集合，若存在对应关系f,使都有唯一的与之相对应，则称f是映X入Y的映射。读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。特殊映射：双射(bijection)：注1.单射或满射的概念与集合有关.例如:注2.双射为1-1对应.合成映射：6.集合的特征函数
4、证：取大运算,如2∨3=3故称集合A的特征函数。例题:则则类似可得：证：取小运算,如2∧3=2定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积，记做A×B一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定A×B＝{(x,y)xA,yB}，不能写作B×A。二、关系(Relations)1.直积称为例1例2R表示实数集，n阶笛卡儿积将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合例3设集合A={a,b},B={1
5、,2,3},C={d},求A×B×C,B×A。解:先计算A×B＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}A×B×C＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}×{d}＝{<{a,1},d>,<{a,2},d>,<{a,3},d>,<{b,1},d>,<{b,2},d>,<{b,3},d>}B×A＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}解:P(A)={,{1},{2},{1,2}}A×P(A)＝{1,2}×{
6、,{1},}{2},{1,2}={<1,>,<2,>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}例4设集合A＝{1,2},求A×P(A)。2.关系的概念注1.关系就是集合，注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。例若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R上的特征函数.3.关系的运算例注：关系的矩阵表示法设X={x1,x2,…,
7、xm},Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.关系合成的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)
8、1≤k≤s}.例设X={1,
9、2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={(x,y)
10、x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(y,z)
11、y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1°R2={(x,z)
12、x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°)运算的性质
