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1、年第二期19831.(r一1)!奋一nn+1)nr1)一((··r~1(.:A’.-,-l十1一三些一,r!C:+:rIC:rJC:;(r一·r一r一1)(n+l)n+r一1)。1)(l)!(一(r,因为对任何不小于J的正整数都有_r。,一,iI。二IC二」皿r一n_`n+r一今ao(1)(+1)二(1)卫111t一生+11..以一一=r,一+++“所.。r十.+”气12二2.r+1)4r+2C:,:,:3…(3…()—C:C:~——+-一」+”.n(n+1)n+r一1)一)—一(一1一·.r一1)r一1)1((一(作者单份
2、:河南省开封市击(c:不卜:第十,中学)平面几何一类证明题的探讨丁鸿强.,be=aidi+a:d2在平面几何里有一类证明题(我们暂且把它则有,叫做成比例线段的复合==)的证明学生往往感到困与、除得。,试图从这类间箭乍欲汁绘:难本文拟通过对这类问题的讨论鳄题的结构上找出解题的一般规律。上面各式的结果,都是由线段的比例式经过加、,,平面几何中四个线段成比例一般是由相似形乘运算而得到的或者说是由成比例的线段复合而得到。,的下面举例说明证明这类成比例线段的复合’一一““=“得到的它有两种形式或d。令盗问题的方法.。1:ABCD例已
3、知是圆内接四边形定义如果线段的两个比例式中含有一个公共.BD一AB.·.求证AC:cD+D^Bc一,,,:线段(例如二戒卫一和共生则称这分析如果能在BD。今”QO欲,上找到一点P并且使Aq。·两个比例式是相关的(BP+PD)=ABCD+,、.,两个相关的比例式通过加乘运算可以得到ADBC式中A.CBP=AB:。,o二o,如下形式CDACPDADBC,就是说P的选取应使待十二十即色上兰竺丝二勺①赘弩竺dl+习淤澎D证的等式化成两个基本的。。:十a:,a,比例式即可1其中仍是一个线段记为则上式为图A“·”P=·,一.一.b由BA
4、cD有这就需ù一些山+叭叭器器.,e:二a:leZ=aZd::AcDABPACDA石P②bd与b相加得要△。△而在△和△中显然.,,b(。:+e:)=a:d:+a;d:e:+e:。乙ACD=APB(即ABD)人B将记为乙`故只要作`P中等数学。,二名CAD就可以了(如图D从而尹点在BD上的PE.PFPDAP,一”工一一=~十厄「瓦石元了位置就确定了孟丽,,至于P点选定以后全部问题的证明则是比较如果采取把AP写成两个线段之和的办法例。,.容易的了如在AP上取Q有AP=人Q十QP从而将上式写为.。2:AD例已知是△ABc的顶角乙
5、A的平分线.óPEPF一AolDt一A0一PD.,~~:ADZ二ABAC宁厄污一=+该式两边的四个比例式求证面犷一BD·DC.,:如果能分别包含在两组相似三角形之中间题就解分析待证的式子可。。.·决了但做到这一点显然是不可能的写为ADAD二ABAC,。一BD·Dc’.()该式又可视因此不得不另想办法我们设想可否将··-·--一,,-·一一`、一-`~’`一’“些AD。一为两个比例式的差如能?,作适当的代换就是说用另两个线段的比来代替它设法把AD写成两个线段、、J并使代替后的新的比例式的分母与BE和cF分别能,之差或许对问题的
6、解决。,。组成三角形要做到这一点并不困难这只要过P作是有益的做到这一点并,、、。MN刀BC分别交ABAC于MN即可这样一,,不难这只要在AD的延长线上取一点P就可得到..AD=AP一DP于是()式可改写为AD(AP一DP),=·=,来就有同时又可得到=··,··ABAC一BDDC或ADAP一ADDP二AB器器器等··.,AC一BDDC但P点的选取显然不能是任意的二·,至于间题的证明对于一般读者来说..,·,。它应能使ADAP二ABACADDP=BDDC成立袋偿。一A一DB·o一A一CP,显然是并不困难的由ADAP二ABAC有
7、一,这只要△人DC,根据以上分析我们可以总结出如下证明平面。ABP。ADC和△BP,几何中成比例线段的复合题的一般规律。△即可而在△A中已知,,BAP二DAC,AB卫二ADC从定义得知若两个比例式是相关的则在两`乙故只要`乙即可(如。.,。个比例式中含有一个公共线段通过两个相关比例图2)从而P点的位置就确定了、、。,。式的加乘运算可得出(1)(z)和(3)式而在平面几P点确定之后全部问题的证明是并不困难的。,.已知:3,DABc的边B何中线段成比例一般是由两个相似形得到的因例3如图是△A上的,,,.,BCF此在遇到要证明成比
8、例线段的复合这类题时首一点E是AC延长线上一点DE交于、“ACA·先应将待证的以加乘形式出现的比例式还BDF:求证。CEBDFEàab”,一二业士业可:原为两个或几个相关的比例式如J分析我们设想有一dl一d么ACAB“”=个线段为使还原为色一二2-二止乞一,二a`dl+a:dzBD性丛`+
