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《浅谈微分中值定理证明中辅助函数的构造.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第24卷第7期四川教育学院学报2008年7月Vo.l24JOURNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCATIONJu.l2008浅谈微分中值定理证明中辅助函数的构造谭洁琦(湖南生物机电职业技术学院基础课部,长沙410127)*摘要:文章首先从几何出发对微分中值定理进行说明,在几何上解释了一类辅助函数的构造,这在教学上具有一定的参考性!关键词:微分中值定理;辅助函数DiscussiononConstructingAuxiliaryFunctionsinProvingDifferent
2、ialMeanValueTheoremAbstract:Thisarticleembarksfromthegeometrytodifferentialmeanvaluetheorem,andthenexplainstheconstructionofauxiliaryfunctions,whichhascertainreferencesinteaching.Keywords:differentialmeanvaluetheorem;auxiliaryfunction中图分类号:O17文献标志码:A文章编号
3、:10005757(2008)070101031.引言柯西定理:如果函数f(x)和g(x)满足:微分中值定理是高等数学课程中的重要内容,其理论(1)在闭区间[a,b]上连续,性较强,内容抽象,教学过程中又容易照本宣科,导致学生(2)在开区间(a,b)内可导,且g'(x)0,学习兴趣不大,难于理解和应用.究其主要原因是中值定则(a,b)在内至少存在一点,使得理证明过程中要借用到的辅助函数,学生对辅助函数的由f(b)-f(a)f'()=g(b)-g(a)g'()来不知其然,因而辅助函数的引入一直是微分中值
4、定理教3.微分中值定理几何上的观察学上的一个难点,下面本文就这一点提出了自己的心得如图1所示:在曲线y=f(x)上存在这样的点,过这一2.微分中值定理的陈述点的切线平行于x轴(过两端点A、B的弦).微分中值定理包括罗尔定理,拉格朗日定理和柯西定如图2所示:在曲线y=f(x)上存在点P(,f()),使理,其内容如下:曲线在该点的切线平行于过曲线两端点A、B的弦.罗尔定理:若函数f(x)满足如下条件:X=g(x)(1)f(x)在闭区间[a,b]上连续;如图3所示:在曲线(其中x为参数,axY=f(x)(2)f(x
5、)在开区间(a,b)内可导;[1]b)上存在点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端(3)f(a)=f(b)点A、B的弦.则在(a,b)内至少有一点,使得f'()=0那么,归纳起来:在[a,b]上连续且除端点外每一点都拉格朗日定理:若函数f(x)满足如下条件:存在不垂直于y轴的切线的曲线,它们有个共同的特征(1)f(x)在闭区间[a,b]上连续,在曲线上至少存在一条切线平行于曲线端点的连线.(2)f(x)在开区间(a,b)内可导,4.微分中值定理的证明则在(a,b)内至少有一点,使得罗尔定理的证明比较直观,学生
6、很容易接受,在这主f(b)-f(a)f'()=b-a要讨论后两个定理的证明拉格朗日定理和柯西定理的证*收稿日期:20080304作者简介:谭洁琦(1978),男,湖南邵东人,研究方向:高等数学,数学建模的教学和科研。101四川教育学院学报2008年7月明通常要借助罗尔定理,这中就必须要构造个辅助函数,使所做的辅助函数满足罗尔定理的三个条件,通常构造这个辅助函数也就是教学中的难点.下面我们从这点出发来探讨怎样构造这样的辅助函数来证明
7、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.4.1拉格朗日中值定理的证明证明:方法一:由图2知:直线l的方程为:y=ABf(b)-f(a)(x-a)+f(a)现要构造一个函数F(x)使其在b-ax=a和x=b两处的函数值相等,由图2知直线lAB和曲线f(x)在x=a和x=b两处的函数值分别相等,不妨考虑所做函数F(x)为曲线f(x)和直线lAB的差即:F(x)=f(x)-f(b)-f(a)[(x-a)+f(a)]b-a不难验证F(x)满足罗尔定理的三个条件,且F'(x)=f(b)-f(a)f'(x)-b-a因此由罗尔定理知:在
8、(a,b)内至少有一点,使F'()=0,即f(b)-f(a)f'()-=0b-af(b)-f(a)由此得f'()=b-a方法二:如图4所示作一条平行于l且过原点的直线AB从图中不难发现,f(a)-y(a)=f(b)-y(b)(因为f(b)-f(a)lCD,则lCD的方程为y(x)=b-ax.ABCD为平行四边形),那么为使构造的函数F(x)在x=a和
