数列极限证明中的_N语言问题.pdf

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1、Vol.13,No.4高等数学研究Jul.,2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS103数列极限证明中的E2N语言问题曹慧珍(温州大学瓯江学院理学系,浙江温州,325035)摘要通过对一道错误证明题的释疑,引出数列极限证明中E2N语言及其逻辑关系的探讨,并阐释相关的一些问题疑点及常见错误证明.关键词数列极限;E2N语言;实数有序性;错证点评中图分类号O131问题引入例2设例1设liman=a,limbn=b,aN时有若存在正整数N0,使得当n>N0时有an[bn,则an

2、n.a[b.错误证明此题与例1有点类似,很自然得到证明任给E>0,存在正整数N1,N2,当n>N1启发,模仿证明如下:时有任给E>0,存在正整数N1,N2,当n>N1时有EEa-N2时有当n>N2时有EbN时,取N=max{N1,N2},则当n>N时,有EEEEan-

3、式(2)中的an,bn为两不确定的数,两者能等同吗?收稿日期:2008-09-05;修改日期:2009-07-06.首先,n>N时保证了基金项目:温州大学瓯江学院2010年重点课程立项建设项目.作者简介:曹慧珍(1962-),女,江西抚州人,副教授,从事函数论研anIU(a,E),bnIU(b,E),究,Email:caohui_5@wzu.edu.cn.但位置随n而变,不固定.NoteontheProofofCompletenessforUniformSpaceSHENChen,JINGuiRong(SchoolofMathematicsandComputationalScience,

4、ChinaUniversityofPetroleum,Dongying,Shandong,257061,PRC)Abstract:LetLbethelargestpossibleuniformityforasetX,anoversightintheproofofthecompletenessfortheuniformspace(X,L)ispointedout.Withthedefinitionofcompletenessfortheuniformspace,thecorrespondingconclusionisproveddirectly.Keywords:uniformspace;

5、Cauchynet;completeness.104高等数学研究2010年7月b-a它具有三重特性:¹任意性;º确定性;»充分小性.其次,E可以任意小,当0b-a,则则逻辑失真,推理出错.2例3证明:U(a,E)HU(

6、b,E)X§,1limn(n+1-n)=.这时在U(a,E)HU(b,E)内,点an有可能位于点bn的ny]2右侧,即有错误证法对任意E>0,为使an>bn,111n(n+1-n)-<1+0,存在正整数N1和21n>.(3)2E-1正整数N2,当n>N1时有1a+b为此,只需取N=,则当n>N时,不等anN2时有错因点评要使不等式(3)成立,必须a+bbn>b-E=,21E>,2取N=max{N1,N2},则当n>N时有不满足E的任意性和可充分小性.a+ban<

7、,一般常取以上分析表明,不等式(1)和(2)虽然形式相同,

8、an-A

9、[U(n),但量的意义不同,两者不具有等同性.而由原理设a,b为两定实数,若对任意正数E有U(n)

10、an-A

11、b,limn=1.ny]令E=a-b,则错误证法1对任意E>0,为使E>0且a=b+E,nnn-1=n-1