方程与函数的思想方法.ppt

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1、方程与函数的思想方法1．已知：（0<<），求tan的值．解法1：设sin=y，cos=x则解之，或当（0，]时,sin+cos≥1,和已知矛盾．故（，），应舍去第一组解∴．解法2：∵cos≠0∴原方程变形为．即5(1+tan)=sec平方得25tan2+50tan+25=1+tan2∴12tan2+25tan+12=0∴，或．由知(,)且

2、sin

3、>

4、cos

5、∴．解法3：设，则∴3x2－5x－2=0∴x1=2或∵，∴，．2．双曲线G满足（1）抛物线y2=2x+1的焦点与准线是G的一对对应焦点与准线；（2）直线y=x垂直平分G的弦AB，

6、且．求G的方程．解法1：,焦点O(0，0),准线x=－1．设G的方程为①直线AB方程为y=－x+m②①，②联立，消去y：(b2－a2)x2+2(b2c+a2m)x+b2c2－a2m2－a2b2=0③设AB中点为M（x0，y0），∵M在y=x上，∴于是x1+x2=m即(a2+b2)m+2b2c=0④又即(b2c+a2m)2－(b2－a2)(b2c2－a2m2－a2b2)=(b2－a2)2⑤∵中心为（－c，0）和准线是x=－1∴⑥且c2=a2+b2⑦由⑥得a2=c2－c，⑧由⑦得b2=c⑨⑧,⑨代入④：得m=－2⑩⑧,⑨,⑩代入⑤：得∴，G的方程为．解法2：设G的方程为，即(e2－1)x

7、2－y2+2e2x+e2=0①设AB方程为y=－x+m②①，②消去y，得(e2－2)x2+2(m+e2)x+e2－m2=0③设AB中点为M（x0，y0）则x0+y0=m且x0=y0∴∴m=－2④④代入③，得(e2－2)x2+2(e2－2)x+e2－4=0由，得∴e=2．于是G的方程为3x2－y2+8x+4=0即．解法3：设AB中点为M（x0，x0），则A(x0－1，x0+1)，B(x0+1，x0－1)于是∴

8、x0

9、=

10、x0+2

11、，x0=－1∴e=2．故G的方程为即3x2－y2+8x+4=0．3．对任意a[－1，1]，不等式x2+(a－4)x+4－2a>0恒成立，求x的取值范围．解：

12、把不等式整理为(x－2)a+x2－4x+4>0设f(a)=(x－2)a+x2－4x+4，于是或故x的取值范围是（－∞，1）（3，+∞）．4.已知f(x)=x2+bx+c,方程f(x)－x=0的两实根为x1，x2且x2－x1>2．（Ⅰ）求证：x1，x2是方程f[f(x)]=x的根；（Ⅱ）若四次方程f[f(x)]=x另两个根为x3，x4，且x3>x4，试比较x1，x2，x3，x4的大小．（Ⅰ）证：f(x1)=x1f[f(x1)]=f(x1)=x1∴x1是f[f(x)]=x的根，同理可证：x2也是f[f(x)]=x的根．（Ⅱ）解∵f(x)－x=0的根是x1，x2，∴f(x)－x=(x－x

13、1)(x－x2)①即f(x)=(x－x1)(x－x2)+x∴f(x)－x1=(x－x1)(x+1－x2)②f(x)－x2=(x－x2)(x+1－x1)③在①中，令f(x)代x，得f[f(x)]－f(x)=[f(x)－x1]·[f(x)－x2]∴f[f(x)]－x=(x－x1)(x－x2)(x+1－x2)·(x+1－x1)+f(x)－x=(x－x1)(x－x2)[(x+1－x1)(x+1－x2)+1]令g(x)=(x+1－x1)·（x+1－x2）+1∵g(x1)=x1－x2+2<0，g(x2)=x2－x1+2>0，∴g(x)=0在(－∞，x1)及(x1，x2)内分别有一个根，由于x3>

14、x4故x4