费马点的证明.doc

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1、1、费马点一定不在三角形外（证明略）2、当有一个内角大于或等于120°时对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC∴点A即费马点3、

2、当三个内角都小于120°时在△ABC内做一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H⊥EF于H易证明∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'H≤P'A所以2S△EP'F≤P'A·d①同理有2S△DP'F≤P'B·d②2S△EP'D≤P'C·d③①+②+③，得2(S△EP'F+S△DP'F+S△E

3、P'D)≤P'A·d+P'B·d+P'C·d∴2S≤d(P'A+P'B+P'C)又∵2S=d(PA+PB+PC)∴d(PA+PB+PC)≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点