勾股定理16种证明方法.pdf

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1、勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）abbaaacaacbcabbcbbbccaabab做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即22121ab4abc4ab22222，整理得abc.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条

2、直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,DbGaC∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,acbc∴∠AEH+∠BEF=90º.H∴∠HEF=180º―90º=90º.F∴四边形EFGH是一个边长为c的ccab2正方形.它的面积等于c.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,AaEbB∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.2∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于ab.212ab4abcD222∴

3、2.∴abc.【证法3】（赵爽证明）b以a、b为直角边（b>a），以c为斜cGF边作四个全等的直角三角形，则每个直角CaAHEB1ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，2∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.2∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于ba.1224abbac∴2.222∴abc.【证法4】（1876年美国总统

4、Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.C∵RtΔEAD≌RtΔCBE,D∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,ccba∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.AbEaB∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c它的面积等于2.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.12ab∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.12112ab2abc∴222.22

5、2∴abc.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，FbaGcEPbbCccHDaabacAB∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠E

6、BD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则221abS2ab,221cS2ab2,222∴abc.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.E过点Q作QP∥BC，交AC于点P.ba过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点FcA

7、F作FN⊥PQ，垂足为N.P∵∠BCA=90º，QP∥BC，b∴∠MPC=90º，cMc∵BM⊥PQ，CN∴∠BMP=90º，a∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90ºQ.cB∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

8、GBF、CD.过C作CL⊥DE，H交AB于点M，交DE于点L.aCK∵AF=AC