LATEX科技排版-数理统计第七章第六节.pdf

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1、非参数检验肖垒经济学院学号：154201222019482014年6月1日统计学的基本问题是利用观测到的样本推断总体。在统计推断中，我们对研究总体常常要作一些假定，最常见的假定是假定总体分布为正态，这样的假定是比较强的。由于实际的总体与假定的总体往往会有差距，那么。这种做法将可能会引起推断结果的错误。这一问题促使人们去研究在总体分布假定比较弱的前提下，如何进行统计推断。非参数方法正是这样的一个领域。下面介绍几种常见的非参数检验的方法。1游程检验所有统计推断方法常常要求数据随机取自同一个总体，有时由于种种原因，我们可能怀

2、疑数据不符合随机选取的原则，此时对数据进行随机性检验。设x1;


;xn为依时间顺序连续得到的一组样本观测值序列。记样本中位数为me，把序列中小于me的那些xi换成0，大于或等于me的那些xi换成1。这样我们就得到一个由0和1两个元素组成的序列。我们把以0为界的一连串的1称为1游程，以1为界的一连串的0称为0游程，统称为游程。例如序列0101110110100(1)它有5个0游程和4个1游程。设序列中0和1的个数分别为n1和n2，其和为样本量n。一般来说，n1，n2都大于0，设R表示序列的总游程数，则R的最小值是2，

3、最大值为n，对于(1)式给出的序列，R=9。若游程总数R的值过大（即0和1呈周期性变化的趋势），或游程总数R的值过小（即序列的前一部分0占多数，后一部分1占多数，或者前一部分1占多数，后一部分0占多数），可以认为样本数据受到了某些非随机因素的干扰，它不符合随机抽取的原则。因此，对于原假设H0：样本序列符合随机抽取的原则，该检验的拒绝域应具有形式fRc1g[fRc2g，其中临界值c1和c2要根据H0为真时R的分布确定。下面讨论H0为真时R为偶数与奇数两种情况进行。由于0的游程和1的游程是交替出现的，所以，当R=2k时

4、，必有0的游程和1的游程个数都是k；当R=2k+1时，要么0的游程个数是k且1的游程个数都是k+1，要么1的游程个数是k且0的游程个数是k+1。出现“k个0的游程”意味着n1个0被分成k组，这相当于将n1个不可分辨的球放入k个盒中且没有一个盒子是空的，依重复组合公式，共有n21k112符号检验2n21种可能。所以，在R=2k时，k个0的游程共有种不同方式的安排，类似地，k个1k1n21的游程也共有种不同方式的安排。把0的游程和1的游程合在一起有两种可能，一种是k10的游程在前面而1的游程在后面，

5、另一种则反过来，1的游程在前面而0的游程在后面。由此可知，出现R=2k的情况一共有n11n212k1k1n1+n2种可能，而总的等可能结果一共有个，从而有n1n11n212hik1k1nP(R=2k)=;k=1;2;


;:(2)n1+n22n1类似地，在R=2k+1时，要么有k个0的游程和k+1个1的游程，要么有k+1个0的游程和kn11n21个1的游程。对前一种情况，一定是以1的游程开始也以1的游程收尾，共有k1kn11n21种可能，对后一种情况，

6、共有种可能，于是有kk1n11n21n11n21+k1kkk1n1P(R=2k+1)=;k=1;2;


;:(3)n1+n22n1由（2）、（3）两式，当n1，n2都不太大时，对于给定的(0<<1)，可以计算出游程总数检验的临界值。为了方便使用，人们编制了游程总数检验的临界值表。应用中由（2）、（3）两式计算检验的p值则更加方便。2符号检验符号检验是一类重要的非参数检验，它主要用来对总体p分位数xp进行检验。对任一连续总体X，其p分位数xp0

7、唯一的，对xp的检验可参看如下例子进行。例2.1设总体X为连续随机变量，分布函数为F(x)，x1;x2;


;xn是来自该总体的样本，试检验假设“F的中位数为0”，即检验如下假设H0:F(0)=0:5vsH1:F(0)6=0:5解作符号函数(1;x>0;Xni+yi=S=yi:0;xi60;i=1即S+为x;x;


;x中取正数的个数。直观上看，在原假设成立时，S+的取值不应过大也不应12n过小。在H为真时，S+服从二项分布b(n;0:5)，从而，可确定常数c;c使012++P(S6c1)6=2;P(S>c2)6

8、=2;该检验的拒绝域为f0;1;2;


;c1g[c2;c2+1;


;n。当然，这时使用检验的p值进行检验将会比较简单。3作者简述3上述检验问题的统计量S+，通常被称为符号统计量。一般场合，S+还用来检验总体分布F的p分位数，具体如下：设x1;x2;


;xn是来自总体X的样本，欲检验H0:xp6x0;vsH1:xp>x