《行列式的计算》PPT课件.ppt

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1、性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记一、行列式的性质说明：行列式中“行”与“列”具有同等地位。凡是对“行”成立的性质对“列”也成立。性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证略例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之

2、和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如二、行列式的计算1定义n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即2上三角行列式下三角，对角....利用行列式性质计算行列式方法：注意：灵活运用用行列式性质化行列式为上（下）三角形、对角形行列式计算.避免分数运算，以减少运算过程中的错误.记号：例1应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算阶行列式将第都加到第一列

3、得特点：其每一行的元素之和相等。解例5证明证明例6一阶行列式

4、a

5、=a例7计算解由此递推，得如此继续下去，可得例8证明n阶级(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Alexandre-ThéophileVandermondeBorn:28Feb1735inParis,FranceDied:1Jan1796inParis,France=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(

6、ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则证明:当n=2时,D2=(a2a1).Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2a3…an…………a2n-2a3n-2…ann-2=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………

7、0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1三、克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为（2）例5：解方程组：当D=0,我们以后再讨论。定理1如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零（

8、D=0）.解：∵方程组的系数行列式是齐次线性方程组的相关定理定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一的解，即零解.定理如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.性质行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即第i行第j行=0关于代数余子式的重要性质