《高斯求积公式》PPT课件.ppt

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1、3.4Gauss求积公式3.4.3Gauss求积公式的余项与稳定性3.4.2常用Gauss求积公式3.4.1Gauss求积公式的基本理论3.4Gauss求积公式学习目标：掌握高斯求积公式的用法。会用高斯勒让德求积公式。3.4.1Gauss求积公式的基本理论在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。3.4Gauss求积公式例3.5确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。解按代数精度的概念，分别令时上式左边与右边

2、分别相等，有有第二式和第四式可得，结合第一式和第三式得取得于是得到求积公式它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。一般地，考虑带权求积公式（3.4.1）其中为2n+2个待定参数，适当选择这些参数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。定义3.3如果求积公式（3.4.1）具有2n+1次代数精度，则称该公式Gauss型公式。称　其节点为Gauss点。如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下面从分析G

3、auss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题。定理3.5对于插值求值公式(3.4.1),其节点是Gauss点的充分必要条件是多项式　　与任意不超过n次多项式P(x)带权正交,即　　（3.4.2）证.先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则的次数不超过2n+1。因此,如果是Gauss点，则求积公式（3.4.1）对于是准确成立的，即有但故（3.4.2）成立。再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式。利用（3.4.2）有由于（3.4.1）是插值型的，它

4、对于Q(x)能准确立即注意到知，从而有由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立。因此，是Gauss点，定理得证。由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。推论n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点。利用正交多项式得出Guass点后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为其中是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。例3.6确定使下列公式为Gauss公式：解我们可以像例3.5一样,直接由代数精度的概念构造Gauss公式。这里,我们用

5、正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该Gauss公式。先构造区间[0，1]上权函数的正交多项式这里我们直接用正交性求解。设则由得，由得b=-8/9，从而得c=-8/63。由的零点按代数精度的概念，分别令f(x)=1，x时公式准确成立，得由此解得从而得到Gauss求积公式。得a=-2/5.由3.4.2常用Gauss求积公式1.Gauss—Legendre求积公式在区间[-1，1]上取权函数，那么相应的正交多项式为Legendre多项式。以Legendre多项式的零点为Gauss点的求积公式为（3.4.3）称之为Gauss-Legendre求积公式。当n=1时，二次Lege

6、ndre多项式零点为。此时，公式（3.4.3）即为例3.5所给出的公式。当n=2时，三次Legendre多项式零点为。以此为Gauss点，仿两点Gauss-Legendre求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式使时，，并有对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。[]1,1-Ît[]bax,ÎkAGuass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见表3-5。对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么务必须作变量替换表3-505430211200N例3.

7、7用Gauss-Legendre求积公式(n=1,2)计算积分解由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有令对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有容易求出定积分的精确值为I=e-2=0.718281828，由此可见,n=1时的实际误差为0.0063340054,n=2时的实际误差为0.000030049。以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数为其中是关于Gauss点的Lagrange插值