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1、西安工程科技学院学报JournalofXianUniversityofEngineeringScienceandTechnology第18卷第1期(总69期)2004年3月Vol.18,No.1(SumNo.69)文章编号:1671-850X(2004)01-0087-04具有不确定执行价格的期权定价模型薛红(西安工程科技学院理学院,陕西西安710048)摘要:利用随机微分方程和鞅方法,讨论了具有不确定执行价格的欧式期权的定价模型,获得具有不确定执行价格的欧式看涨期权及欧式看跌期权定价公式.关键词:期权;定价模型;随机微分方程;鞅方法中图分类号:F830;O211文献标识码:A文献[1
2、～4]研究一维Black-Scholes模型,文献[5,6]研究多维Black-Scholes模型,但其均为具有确定执行价格的定价模型,这些模型并不适用于具有不确定执行价格的衍生证券的定价问题.本文中利用倒向随机微分方程和鞅方法,讨论了具有不确定执行价格的欧式期权的定价模型,将一维Black-Scholes模型予以推广,获得了具有不确定执行价格的欧式看涨期权及欧式看跌期权定价公式.1金融市场模型假设金融市场仅有两种证券,一种是债券(或银行帐户),债券价格满足dB(t)=r(t)B(t)dt,B0=1,(1)其中利率r:R+→R+是确定的连续函数.解(1)式得tB(t)=exp∫r(u)du
3、.(2)0另一种是股票,股票价格满足随机微分方程dS(t)=S(t)[((t)-q(t))dt+(t)dW(t)],S(0)=S0,(3)其中{W(t),0≤t≤T}为概率空间(,F,P)上的标准布朗运动,股票的预期收益率(t)以及波动率(t)为确定的连续函数,(t)有界且可逆,股票以连续红利率q(t)支付红利.定义1称投资策略{a(t),b(t)}是自融资策略,如果财富过程V(t)=a(t)S(t)+b(t)B(t)满足方程dV(t)=a(t)dS(t)+b(t)dB(t)+a(t)S(t)q(t)dt,(4)其中a(t),b(t)分别表示投资者所拥有股票和债券的数目.收稿
4、日期:2003-04-25基金项目:陕西省教育厅自然科学基金项目(01JK137)作者简介:薛红(1964-),男,山西省万荣县人,西安工程科技学院教授,博士,主要从事随机分析、金融数学方面的研究.88西安工程科技学院学报第18卷由(4)式,在时间区间[0,T]上,财富过程满足线性随机微分方程dV(t)=a(t)dS(t)+(V(t)-a(t)S(t))r(t)dt+a(t)S(t)q(t)dt=r(t)V(t)dt+a(t)S(t){((t)-r(t))dt+(t)dW(t)}.(5)-1令(t)=(t)((t)-r(t)),则dV(t)=r(t)V(t)dt+a(t)S(t)
5、(t)((t)dt+dW(t))=r(t)V(t)dt+a(t)S(t)(t)dW(t),(6)t其中W(t)=∫(u)du+W(t).0定义新的概率测度P满足TTdP12FT=exp-(u)du-(u)dW(u).dP2∫0∫0由Girsanov定理知,W(t)是关于P的标准布朗运动.令tV(t)=V(t)exp-∫r(u)du,(7)0则有dV(t)=a(t)S(t)(t)dW(t),(8)从而V(t)是P鞅.定理2财富过程V(t)满足TPV(t)=Eexp-∫r(u)duV(T)Ft.(9)0P证明由(8)式知V(t)是P鞅,则有V(
6、t)=E{V(T)Ft},再由(7)式可得结果.2具有不确定执行价格的期权定价公式假设K(t)为时刻t的执行价格,尽管期权在t时刻以执行价格K(T)可执行,但K(T)在时刻t未知.假定在风险中性概率测度P下,K(T)满足随机微分方程dK(t)=K(t)[(t)dt+(t)dW(t)],K(0)=K.(10)由于在P下,有dS(t)=S(t)[(r(t)-q(t))dt+(t)dW(t)],(11)则有定理:+定理3对于欧式看涨期权V(t)=(S(T)-K(T)),则有t时刻的无套利价格为TTc(S(t),K(t),t)=S(t)exp-∫q(u)du(d1)-K(t)ex
7、p-(r(u)-(u))du(d2),(12)t∫tT12lnS(t)-lnK(t)+∫r(u)-q(u)-(u)+((u)-(u))dut2d1=;T2∫((u)-(u))dutT12lnS(t)-lnK(t)+∫r(u)-q(u)-(u)-((u)-(u))dut2d2==T2∫((u)-(u))dutT2d1-∫((u)-(u))du,t这里(x)是标准正态分布函数证明TPc(S(t
