线性代数居余马第3章线性方程组.ppt

《线性代数居余马第3章线性方程组.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章线性方程组主要内容N维向量及其线形相关性向量组的秩及其极大线形无关组矩阵的秩，相抵标准型齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构非齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构2021/7/212第三章本章要解决的问题和使用的工具主要问题中心问题是讨论线性方程组解的基本问题方程组Ax＝b的增广矩阵在何时可以使得其演变为阶梯型矩阵（C，d）中的dr＋1＝0采用消元法所得的阶梯型矩阵非零的行数是否唯一确定自由变量可以随便选择，问题是这样得到的方程组解的集合是否相等。使用的工具消元法向量及相应的理论2021/7/

2、213第三章3.1n维向量及其线性相关性如果ai(i=1,2,,n)是实(复)数叫做实(复)向量。1．n元向量的概念定义3.1由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n元向量,记作(a1,a2,,an)，其中ai称为第i个分量。x1=1+k17k2x2=k1x3=24k2x4=1+3k2x5=k2(k1,k2为任意常数)3个方程，5个未知数，任取x2=k1,x5=k2代入可解出全部解：x=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(1+k17k2,k1,24k2,1+3k2,k2)T其中

3、(k1,k2为任意常数)2021/7/215第三章一个n元方程可以用n+1元有序数组(a1,a2,…,an,b)来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的n+1元有序数组之间的关系.2021/7/216第三章例1点的坐标在解析几何中我们已经看到，有些事物的性质不能用一个数来刻画.例如，为了刻画一点在平面上的位置需要两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是要知道它们的坐标.即点的坐标是多元有序数组.2021/7/217第三章例2力、速度、加速度又如力学中的力、速度、加速度等，由于它们既有大小，又有

4、方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后，它们可以用三个数来刻画.何中向量的概念正是它们的抽象.几力、速度、加速度要用3元有序数组来表示.2021/7/218第三章例3n元方程组的解一个n元方程组的解是由n个数组成，而这n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的.即n元方程组的解是一个n元有序数组.x=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(1+k17k2,k1,24k2,1+3k2,k2)T其中(k1,k2为任意常数)2021/7/219第三章例4球的大小和位置为了刻画一个球的大小

5、和位置，需要知道它中心的坐标(三个数)以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要4个数来刻画.即球的大小和位置要用4元有序数组来表示.2021/7/2110第三章例6在国民经济中的应用在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况.譬如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量.又如一个工厂的原料来自好多地方于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每个原料产地的采购量.在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元有序数组来表示.2021/7/2111第三章向量通常写成一行：有时

6、候也可以写成一列：行向量列向量行向量是1n矩阵,记作(a1,a2,,an)；列向量是n1矩阵,记作(a1,a2,,an)T。2021/7/2112第三章如果n个分量全为零，叫做零向量，用0表示。常用,,等表示n元向量。零向量记作0=(0,0,…,0)T.全体n元实向量组成的集合记作Rn。2021/7/2113第三章(2)与之和:+=(a1+b1,a2+b2,,an+bn)。k=1时，=(a1,a2,,an)=+()定义3.2设=(a1,a2,,an)

7、Fn,=(b1,b2,,bn)Fn,F。(3)数与之乘积:=(a1,a2,,an)，简称数乘。向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同(1)=当且仅当ai=bi，i=1,2,,n。F为数域2．向量的线性运算2021/7/2114第三章加法满足4条运算律：(1)+=+；(2)(+)+=+(+)；有+0n=；有(),使+()=0n。2021/7/2115第三章,Fn,,F有：1=；(

8、)=()；(+)=+；(+)=+。数乘满足4条运算律：其他:(1)有0=0n;k0n=0n。(2)若k=0n，则=0n或k=0(3)向量方程+x=有唯一解:x=定义3.3数域F上的全体n元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算,称为数域F上的n维向量空间，记作Fn(Rn为实空间)。2021/7/2116第三章称为向量1,2,…,m的线性组合，或可用{1,2,…,m}线性表示