连续型随机变量常见的几种分布.ppt

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1、连续型随机变量几种常见分布1三.几种常见的连续型随机变量的分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布(或等概率分布)记作X～U(a,b)注:▲易证满足：20的图形：▲X落在区间(a,b)中任意等长度的子区间的可能性是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.均匀分布的概率意义:▲3[证]:即X落在(c,d)内的概率只与(c,d)的长度有关,而与(c,d)在(a,b)中的位置无关.均匀分布常见于下列情形：比如:在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车

2、前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.4由分布函数定义可得：若X服从均匀分布，则X的分布函数为:图形:▲5某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量(1)乘客候车时间少于5分钟的概率(2)乘客候车时间超过10分钟的概率例1.试求：6解：X～U(0,30)设以7:00为起点0，以分为单位为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15

3、，7:30等时刻有汽车到达汽站故所求概率为：依题意，7候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或7:15到7:20之间到达车间82.指数分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：注:▲易证满足：为常数其中则称X服从参数为的指数分布9由分布函数定义可得：若X服从指数分布，则X的分布函数为:▲▲指数分布的性质(无记忆性)若X服从指数分布，则：对任意的有：若设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件对它已使用过小时没有记忆。▲指数分布的图形特点10某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位:h)都服从同一指数分布，概率密度为仪器在使用的最初200h内

4、，至少有一个元件损坏的概率例2.试求：11正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由数学家高斯加以推广，所以通常也称为高斯分布.德莫佛数学家德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.3.正态分布高斯12(1).正态分布的定义若随机变量X的概率密度为：记作:f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.其中:13(2).正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”14决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布

5、的图形特点15由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点即整个概率密度曲线都在x轴的上方.(3)▲显然:以μ为对称轴，并在处达到最大值:▲16令:x=μ+c,x=μ-c(c>0)f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)证明:分别代入可得:以μ为对称轴，并在处达到最大值故得:▲这说明：曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。因为当x→∞时，f(x)→0f(x)以x轴为渐近线17(对f(x)求导即可求得)为f(x)的两个拐点的横坐标x=μσ▲(4).正态分布的分布函数由分布函数定义得出正态分布，若则分布函

6、数是其图形为:18正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，对应的是不同的正态分布。19下图是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图:红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。20人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。21除了前面介绍的身高外,在正常条件下年降雨量；各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布

7、.22标准正态分布下面介绍一种最重要的正态分布—(5).标准正态分布其密度函数和分布函数常用和表示：的正态分布为标准正态分布.称其图形为:▲23密度函数分布函数24(一般正态分布与标准正态分布的关系)引理:证明:作一个线性变换标准正态分布的重要性▲任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.25由此可得:若▲即证得：则其分布函数26关于正态分布表▲表中给出的是时,Φ(x)的值.当时有：书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.27▲28~N(0,1)若◆则有：若X～N(0,1),◆则有：29◆对任意区间则有：30