域上二维特殊线性群的同态.pdf

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1、上海理工大学学报第32卷第2期J．UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyVo1．32No．22010文章编号：1007—6735(2010)02—0115—06域上二维特殊线性群的同态刘国华，胡建华(上海理工大学理学院，上海200093)摘要：利用简洁的方法确定了chK=2时，SL2(F)到SL2(K)的同态，并在IFI≤5，chK≠2的条件下构造了SL2(F)一SL2(K)的单同态．关键词：域；特殊线性群；同态中图分类号：0152．3文献标志码：AHTTomomorp0

2、hi●smsotnt-wod·■imensi●ona_lspeci●a’llineargroupsoverfieldsLIUGuo-hua，HUJian-hua(cot／~ofScience，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)Abstract：AsimplewaytodeterminethehomomorphismsSL2(F)一SL2(K)wasproposed，whereFandKarefiledssuchthatJFI

3、=2andchK：2．Thenweconstructtheembeddinghomomor．phismsofS(F)intoSL2(K)wasconstructedwhenthebasicfieldsareJFI≤5，chK#2．Keywords：field；speciallineargroup；homomorphisms群的同态是两个群之间的关系最基本的研究手段，可以借助一个群来研究与它同态的另一个群的态，则A表示矩阵(Cz；)∈GcK．结构．在没有假设Zariski稠密及域是无限的条件下，在1990年，文献[1]确

4、定了同态原象域阶数大于记F={()∈c驯，5，k为任意域的二维线性群之间的同态．在1995年，文献E2]研究了特征相同的两个域上的特殊线性u—cF，={(EGI．a(F)V∈F)．群之间的嵌入同态．在此基础上，本文讨论原象域阶文中出现的概念见文献[4—5]．数小于等于5的域上的二维特殊线性群之间的同态形式，完善了文献[3]的结果．1预备知识及基本引理设F是域，F与F分别表示F的乘法群和引理1设chK=2，A，BEGL2(K)，A=B=加法群，F2表示仅含两个元素的群，GL2(F)表示F上二阶可逆矩阵全体构成的乘法群，S

5、L2(F)表示I，AB≠BA，则在GL2(K)下A，B可同时化到GL2(F)中行列式为1的元素全体构成的子群．如，，』、(0)，其中EK．果A=)∈GL2(F)，而：F—K是域上的同收稿日期：2009—05—25基金项目：上海市教育委员会优秀青年教师科研专项基金资助项目(06Ez033)作者简介：刘国华(1982一)，女，硕士研究生．E-mail：liuguohua1234@163．com116上海理工大学学报2010年第32卷现对是否为0进行分类讨论。e,,4Pf()．由A2=1可推出(A-I)2-0．因A≠J，故由

6、A—I幂零推出A—I不是中心矩阵．设a．如果-o，财庙(三)(A—J=(三)．如果c=。，即由cA—fz：(1一)知，P将A化为()(，P将B化为f【06d+zbd]_【：0推出d=0·所以，A—J(吕言)，A=()．因A≠J，故6≠。，于是如果≠4由()(db)=(：)()～=(果c则(Ⅱsc68d)知，可选s使+se=0．由(=(*)知坷因()-1=(1)'而选取使+c。．于是，设A～J=()，而()所(=(：因cA—I=(竺6cb+dd。)=。，c≠。，故6=(。scbsd)(三)(Sc6)～：。，d=。．因此,

7、A-I=(＼：CU／1，A=(＼Cl／1．于是()(：()从而a成立，即存在P1∈(K)，使得从而()P1使A化为()，()使B化P1AP()㈣为()，∈K．故jP∈GL2(K)，使得PAP—：同理，可证存在Pz∈GL2(K)，使得(),pBp-1=(()定义嘲如果在SL2(R)的生成元中，一切定b．再证存在P∈GL2(K)，使得A和B同时化义关系都由下述4种关系生成，则称S(R)是万有的(对于R)或称R对于SL2(R)(其中R为环)为()．是万有的．a．(二l1。(。)；PBP=P1P2()(3)b．()()()=一

8、(。)；令PPlP2则A¨B在P下同时化为()和c．(苦o1)(二)lo1兰)；P(冷P=(三)c≠o；否则，d．(o1)(言6(0一)．(苫=(a而其中，V1，2，∈R，V，b∈R．(~r／-1)(=(d-1B引理2。任意的局部环R对于S工口()是万有的．PP1APP1APiP1BPf，即BA=AB，与已推论lFl=2，3，5时