两个向量的内积The Dot Productof Two Vectors.ppt

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1、兩個向量的內積TheDotProductofTwoVectorsCopyright©CengageLearning.Allrightsreserved.11.3運用兩向量內積的性質用內積找出兩向量的夾角找出空間向量的方向餘弦找出一向量在另一向量上的投影目的內積(或點積)TheDotProduct又稱innerproduct或scalarproduct。內積你先前已經學到了向量的兩種運算—向量相加以及常數乘上向量。在這個小節你會學到第三種運算方式，稱做內積。這個運算結果會產生一個純量，而非向量。內積的定義:給定兩向量、，則它們的內積為:給

2、定兩向量、，則內積為:。內積定理11.4各種內積的性質令u、v、w為空間或平面的向量，c為常數例題1–求內積以下有三個向量，分別為:,。求解:注意:只有(b)運算出來的結果是向量，其餘的都是純量。例題1–解法cont’d兩向量的夾角AngleBetweenTwoVectors兩向量的夾角θ是兩個非零向量之間的夾角，0≤θ≤π，如圖11.24。在下個理論中將會告訴你，如何用內積求出向量夾角。Figure11.24定理11.5兩向量的夾角θ是兩個非零向量u和v之間的夾角，則如果已知兩向量的夾角,就可以改寫定理11.5裡的式子變成:這也提供了

3、另一種計算內積的方法。兩向量的夾角你會發現和永遠都是正的，且u.v和cosθ永遠都會有相同的正負號。圖11.25表示著兩向量和不同θ的關係。Figure11.25兩向量的夾角從定理11.5觀察出，兩個非零向量夾90度若且唯若內積是零。此時這兩個向量垂直(orthogonal)。垂直向量的定義:給定兩向量u、v，如果，則兩向量垂直。兩向量的夾角例題2–求兩向量的夾角有u=3,–1,2、v=–4,0,2、w=1,–1,–2、z=2,0,–1，找出下列向量的夾角。a.u跟vb.u跟wc.v跟z解:因為u.v<0,例題2–解因為u.w=0，所以

4、u跟w是垂直，θ=π/2。θ=π，所以兩向量是反方向，v=–2z。cont’d方向餘弦DirectionCosines方向餘弦在空間中，可以很方便的測量非零向量v和三軸上單位向量i、j、k所夾的角度，如圖11.26。Figure11.26角度α,βandγ是向量v的方向角度，而cosα、cosβ、和cosγ是v的方向餘弦。因為且由上面兩式得cosα=v1/

5、

6、v

7、

8、.方向餘弦用相同的做法用在j和k，你會得到:是v和i的夾角是v和j的夾角是v和k的夾角方向餘弦所以一非零向量v，在空間中可以被標準化成:而因為，v/

9、

10、v

11、

12、是單位向量，所以

13、可以得到:方向餘弦例題3–求方向角度求出v=2i+3j+4k的方向角度與餘弦，並證明cos2α+cos2β+cos2γ=1。解:因為所以你可以寫出下列式子:例題3–解然而，各個餘弦值的平方合為:如圖11.27。Figure11.27投影和向量分量ProjectionsandVectorComponents投影和向量分量你在先前已經學到兩個向量相加成為合成量。一般在解物理或是工程學上的問題，都會把一個給定的向量分解成兩個向量分量的和來解題。在接下來的題目中，你會發現這是一個有用的方法。想像一台遊艇在斜坡上，如圖11.28.重力F可以分解成

14、平行於斜面的分力以及垂直斜面的正向力。這兩力分別用w1、w2表示，它們彼此垂直，所以它們又稱做重力F的向量分量。Figure11.28投影和向量分量力w1andw2可以幫助我們了解中力對遊艇的影響。例如w1表示我們可以施多少力避免它滑下去，然而w2表示輪胎要施多少力才能支撐遊艇。投影和向量的分量投影和向量分量投影和向量分量的定義:假設u和v為兩非零向量。使，和v平行，和v垂直，如下圖。稱做u在v上的投影，或稱做u在v方向的向量分量。以來表示。2.稱做垂直於v的向量分量例題4求出一垂直於向量v的向量分量u給定向量、。找出u垂直於向量v的向

15、量分量。已知解法:因為u=w1+w2，而w1平行於v,所以w2就是垂直於v的向量分量。例題4–解檢查w2垂直於v，如圖Figure11.30。Figure11.30cont’d投影和向量的分量定理11.6:用內積的方式來表示投影如果u和v是兩個非零向量，則u在v上的投影會表示成u在v上的投影，可以被改寫成一個常數乘上v的單位向量。常數k被稱做u在向量v方向上的分量。例題5將一個向量分解成向量分量給定向量、。找出u於向量v的投影與垂直於v的向量分量。解法:u於向量v的投影是垂直於v的向量分量是