声学基础课后习题解答.pdf

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1、4-1.试分别在一维及三维坐标里，导得质点速度v的波动方程。解答：（1）一维坐标dv∂p运动方程：ρ=−(1)dt∂x∂∂ρ连续性方程：−()ρv=(2)∂x∂t2状态方程：dP=cdρ(3)线性化后得到，∂v∂p运动方程：ρ=−(4)0∂t∂x∂v∂ρ'连续性方程：−ρ=(5)0∂x∂t2状态方程：p=cρ'(6)0由（4）－（6）消去p，ρ'，过程如下：∂v1∂p将（6）代入（5）可得−ρ=(7)02∂xc∂t0对式（1）进行关于t的偏导运算，对式（7）进行关于x的偏导运算，相加后整理得质点速度v的波动方程为22∂v1∂v=(8)222∂xc∂t0显

2、然，与声压及速度势具有相同形式的波动方程。（2）三维坐标dv运动方程：ρ=−gradp(9)dt∂ρ连续性方程：−div()ρv=(10)∂t2状态方程：dP=cdρ(11)线性化后得到，∂v运动方程：ρ=−gradp(12)0∂t∂ρ'连续性方程：−ρdiv()v=(13)0∂t2状态方程：p=cρ'(14)0同样，将（14）代入（13）可得1∂p−ρdiv()v=(15)02c∂t0对（12）进行关于t的偏导，可得2∂v⎛∂p⎞ρ02=−grad⎜⎟(16)∂t⎝∂t⎠对（15）进行grad运算可得2[]()⎛∂p⎞−ρ0c0graddivv=gra

3、d⎜⎟(17)⎝∂t⎠（16）与（17）相加可得21∂vgrad[]div()v=(18)22c∂t0上式也可由速度势波动方程推导得到：221∂φ∇φ=(19)22c∂t0v=gradφ(20)2由于∇φ=div[]gradφ，于是由（19）可得21∂φdiv[]gradφ=(21)22c∂t0由（20）可得22∂v⎛∂φ⎞=grad⎜⎟(22)2⎜2⎟∂t⎝∂t⎠将（20），（22）代入（21）同样可得到（18）。2注意，虽然div[]gradp=∇p，但并不意味着grad[div(v)]也有类似的形式，因为div算子与grad算子并不能交换位置，前者

4、的运算对象为矢量，后者的运算对象为标量。因此，与一维坐标不同，三维坐标下关于质点速度的波动方程与关于声压和速度势的波动方程形式是不同的。具体如下：三维坐标下质点速度为三维矢量，可写为v=vi+vj+vk，则xyz⎡∂v∂v∂v⎤[]()xyzgraddivv=grad⎢++⎥⎣∂x∂y∂z⎦⎛222⎞⎛∂2v∂2v∂2v⎞⎛222⎞⎜∂vx∂vx∂vx⎟⎜yyy⎟⎜∂vz∂vz∂vz⎟=i+j+k+i+j+k+i+j+k⎜∂x2∂x∂y∂x∂z⎟⎜∂y∂x∂y2∂y∂z⎟⎜∂z∂x∂z∂y∂z2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠(19)因此，（18）可写为2∂2v22∂vx

5、y∂vz1∂vx++=(20)222∂x∂y∂x∂z∂xc∂t02∂2v2∂2v∂vxy∂vz1y++=(21)222∂x∂y∂y∂z∂yc∂t02∂2v22∂vxy∂vz1∂vz++=(22)222∂x∂z∂y∂z∂zc∂t0写为矩阵形式，可得222⎡∂∂∂⎤⎢2⎥∂x∂y∂x∂z∂x⎢222⎥⎡vx⎤2⎡vx⎤⎢∂∂∂⎥⎢v⎥=1∂⎢v⎥(23)⎢∂x∂y∂y2∂z∂y⎥⎢y⎥c2∂t2⎢y⎥⎢⎥v0v222⎣z⎦⎣z⎦⎢∂∂∂⎥⎢⎣∂x∂z∂y∂z∂z2⎥⎦简写为，21∂vℜv=(24)22c∂t0式中，变换矩阵ℜ为222⎡∂∂∂⎤⎢2⎥∂x∂y∂

6、x∂z∂x⎢⎥222⎢∂∂∂⎥ℜ=(25)⎢∂x∂y∂y2∂z∂y⎥⎢222⎥⎢∂∂∂⎥⎢⎣∂x∂z∂y∂z∂z2⎥⎦显然，由于v为矢量，其波动方程形式非常复杂，所以，通常以标量声压或速度势描述声场波动方程。4-2.如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为ρq()x,y,z,t，试导0出有流源分布时得声波方程。解答：此时，与无流源分布情况相比，运动方程和状态方程不会发生变化，但是，连续性方程将会发生变化，具体推导如下：zOxy如图所示，对于三维情况，选取立方体微元，共有六个表面，分别对应于x，x+dx，y，y+dy，z，z+dz，表面面积

7、分别为Sx，Sx，Sy，Sy，Sz，Sz。显然，Sx=dydz，Sy=dxdz，S=dxdy。以x方向为例，在单位时间内从该方向进入该体积元的质量应该为()ρvdydz，zxx经由体积元流出的质量为(ρv)dydz，取其一阶泰勒展开即为xx+dx⎡()∂[]()ρvxx⎤ρv+dxdydz。因此，单位时间内从外部流入体积元的净质量为⎢xx⎥⎣∂x⎦∂()ρvx−dxdydz。同理可得，单位时间内从y，z方向流入体积元的净质量为∂x∂(ρvy)∂()ρvz−dxdydz，−dxdydz。∂y∂z同时，由于存在体积流源，单位时间内向单位体积里注入的媒质质量为

8、ρq()x,y,z,t，0则单位时间内注入体积元的媒质质量为ρqdxdydz。0