资源描述：
《正则摄动理论.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Ch.7正则摄动理论7.1应用于单摆问题的级数方法7.2用摄动理论解抛体问题求解单一尺度问题的基本摄动方法17.1应用于单摆问题的级数方法1.单摆问题的尺度化2.级数方法211.单摆问题的尺度化2*1/2dgθ2**⎛⎞+=>=ωθsin0,t0,ω⎜⎟*200dt⎝⎠L***dθθ===at,0,at0*dt***当a很小时，线化近似得θ()costat=ω0**θ因此，应取tt=Θω,=0a2daΘΘsindΘ+=0,(0)1,Θ=(0)=02dtadt32.级数方法1.假设解可展为小参数a的幂级数2.代入方程并将方程也展为a的幂级数3.令各幂次
2、系数为零，得到一系列线性微分方程4.把幂级数代入初边值条件，展开比较得到相应的初边值条件5.相继求解一系列线性微分方程和初边值条件422daΘΘsindΘ+=Θ=0,(0)1,(0)=02dtadt2⎛⎞111Θ≈+(,)costata⎜⎟cost−cos3t+tsint⎝⎠19219216¾二阶近似揭示，由于振动周期误差，Θ(,)costa≈t不是很好的近似¾增加项数可改善精度，但不改变有效区间12at<<11657.2用摄动理论解抛体问题1.级数方法2.参数微分法3.逐次逼近法（迭代法）介绍三种不同的正则摄动方法63**2xtVxt==,ε=21
3、−−11.级数方法VgVggR−2""xx=−+(1εε);(0)xx=0,(0)1,0"=<<<12令xt(,)εε=+++xt()xt()εxt()?01222代入(12++εεxxx)""+1=0，展开，得2222(12++++++++εεεxxxxxx2??)(""εε"""")1=001001212++""xxεε""xx++""0001222223εεεε""xx++++=22""xx""xx""xO(ε)02011000722222312+""xx++εεεεεε""xxxx""+""++++=22""xx""xx""xO(ε)0000
4、12011000O(1)：""xxx+=10,(0)0,(0)1="=000O()ε：""xx+=2""x0,(0)0,(0)0x=x"=1001122O(ε)：""xx20+++=2""xx112""xx00""x00,(0)x2=0,(0)x"2=012x=−tt0234⎛⎞12tt""x=−2⎜⎟ttx=−11⎝⎠231284342211tt⎛⎞2""x+++==22xx""xx""xx""0,,xt−=tx,−=−""x2⎜⎟tt20110000112312⎝⎠22234⎛⎞1122⎛⎞tt⎛⎞""x=−42⎜⎟tt−+⎜⎟−+−⎜⎟tt2⎝
5、⎠23⎝⎠122⎝⎠2341111=−3ttt+−31211456111x=−ttt+−246036034122⎛⎞tt⎛⎞141151163xtt=−+ε⎜⎟−+εε⎜⎟−t+t−tO+()2⎝⎠312⎝⎠460360934122⎛⎞tt⎛⎞141151163xtt=−+ε⎜⎟−+εε⎜⎟−t+t−tO+()2⎝⎠312⎝⎠460360到达最高点时间：由xt"()0=，得m⎛⎞23234511⎛111⎞31(−+tttεε⎜⎟−+−+⎜tttO−⎟+ε)=0mmmmmm⎝⎠31⎝260⎠五次方程23令ta=++1(εaOεε+)m122223代入比
6、较，得tO=++1(εεε+)m3511123xO=++εεε+()m2481052.参数微分法∞ix()t思想：展开式x(,)txε=∑i()tε中的系数i可由i=0原方程对ε逐次求导后取ε=0得到：j1(⎡⎤∂xt,ε)xt()=⎢⎥jjj!⎣⎦∂εε=011−2""xx=−+(1εε);(0)xx=0,(0)1,0"=<<<1第一步：将方程和边界条件对小参数求导∂∂""xx=+2(1εεx)−3⎛⎞⎜⎟+xx=xt(,)ε∂∂εε⎝⎠i()i∂x(,)tεx(0)(,)txε≡(,)tε引入符号x≡，则i∂ε(1)(0)−3(1)(0)""x=
7、+2[1εεxx][+x](2)(0)−−3(2)(1)(0)4(1)(0)2""xx=+2[1εε][x+2xx]6[1−+εε][x+x]126(1)(0)−3(1)(0)""x=+2[1εεxx][+x](2)(0)−−3(2)(1)(0)4(1)(0)2""xx=+2[1εε][x+2xx]6[1−+εε][x+x]第二步：在各方程中令小参数为零()ii()记，ytxt()≡(,0)则−2""x=−+(1εx)(0)(1)(0)(2)(1)(0)2""yy=−1,""=2y,""y=4y−6[y]对边界条件同样处理xx(0)=0,(0)1"=
8、(0)(0)(0)12yy(0)==0,(0)1"ytt=−?2(1)(1)yy(0)==0,(0)"01(
