实验设计内容与数据处理(第三部分).ppt

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1、第四章回归分析变量间相互作用、相互影响，但又难以用定量数学方程表达的关系称为相关关系。回归分析是研究和处理变量之间相关关系的一个数理统计方法。回归分析能解决的问题：（1）可提供变量间相关关系的数学表达式；并利用概率统计基础知识，来判断所建立的经验公式的有效性；（2）可利用所得的经验公式，根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值；并给出这种预测或控制可达到什么样的精确程度。（3）进行因素分析，例如在对于共同影响一个变量的许多因素之间，找出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系。4.1一元线性回归分析回归分析的分类：处理多

2、个变量之间的相关关系称为多元回归分析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。若两个变量间成线性关系，则称为一元线性回归。如果变量之间不具有线性关系，则称之为非线性回归。4.1.1回归系数的最小二乘估计这种与所有观测点最为接近的直线称为回归直线。回归直线的方程ŷ=a+bx称为回归方程，其中a为常数项，b为回归系数。对于每个观测值xi，由回归方程可确定一个回归值ŷi=a+bxi。这个回归值ŷi与实际观测值yi的偏差yi–ŷi=yi–a–bxi刻画了yi与ŷi的偏离程度。所有偏差的平方和就定量地描述了全部观测点（xi，yi）（i=1，2，…，n）与直

3、线ŷ=a+bx沿y轴的方向的偏离程度。这个量随a，b而变化，是a，b的二元函数，记为显然，偏差平方和愈小的直线，愈能较好地反应x与y之间的关系。“最小二乘法”就是使Q（a，b）达到最小的一种确定a，b的方法。{联合求解得：{这里：若记则有若把代入ŷ＝a+bx，可得回归方程的另一种形式由此可见，回归直线是通过散点图几何重心点的直线，明确这一点，对回归直线的作图很有帮助。4.1.2一元线性回归方程的检验回归方程的检验方法有两种，即相关系数法和方差分析法。（1）相关系数法相关系数r定量地描述了两个变量x和y之间的线性相关程度。可以验证-1≤r≤1。相关

4、系数的几何意义│r│越接近于1，x和y之间的线性关系越好。当│r│＝1时，图上的点全部落在一条直线上。若r=0，则可认为x和y之间没有线性关系。这时有两种情况，或者两者没有关系，图上的点杂乱无章；或者两者有非线性关系，图上的点散布在某一曲线附近。│r│需要大到什么程度才能认为两个变量x和y之间有线性相关关系，即配制的回归直线有意义呢？对给定的显著水平α，按自由度f=n-2的值，在相关系数临界值表中查出相应的临界值r(α,f)；若│r│>r(α,f)，则认为回归直线在α水平下显著，即我们有1–α的把握认为变量x与y之间有线性相关关系，这时所配的回归

5、直线有意义。若│r│≤r(α,f)，则认为回归直线或回归方程在α水平下是不显著的，即在显著水平α下，我们不能认为变量x与y之间存在线性相关关系，这时所配的回归直线没有意义。n-2123456789100.050.010.9970.9500.8780.8110.7540.7070.6660.6320.6020.5761.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.7350.708n-2111213141516171819200.050.010.5530.5320.5140.4790.4820.4680.4560.

6、4440.4330.4130.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.5610.5490.537n-2212223242526272829300.050.010.4130.4040.3960.3880.3810.3740.3670.3640.3550.3490.5260.5150.5050.4960.4870.4780.4700.4630.4560.449相关系数临界值表（2）方差分析法回顾方差分析的基本特点：把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动，另一部分反映由于存在实验误差而引起的波动。

7、然后把各因素水平变化引起的波动与实验误差引起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的。在回归问题中，观测数据总的波动情况用各观测值与总平均值之间的偏差平方和表示。IIIIII第I项Q表示观察值yi与回归直线上xi所对应的纵坐标ŷi的偏离情况，它反映了实验误差的大小，称为残差平方和。第III项U称为回归平方和，它反映了由于x与y的线性关系所引起的y的变化情况。第II项每一个偏差平方和（即lyy,U，Q）都有一个自由度和它们对应，lyy的自由度称为总自由度，记为f总。f总＝观测值个数-1＝n–1fU＝1fQ＝n–2三者之间仍然有：f总＝fU＋f

8、Q可用F检验考察回归直线的显著性：（1）计算F（2）对于给定的显著水平α＝0.05(或0.01)，由F分布表查出临界值Fα(1，n-2)