《导数的应用2》PPT课件.ppt

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1、要点梳理1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为；f′(x)≤0f(x)为.§3.2导数的应用增函数减函数基础知识自主学习2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②解方程.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)=0极大值点极小值点3.函数的最值（1）在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［

2、a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在（a,b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)f(a)4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:基础自测1.函数y=x3-3x的单调递减区间是（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-1，1）D.（-

3、∞，-1），（1，+∞）解析∵y′=3x2-3,∴由3x2-3＜0,得-1＜x＜1.C2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.［3,+∞)B.［-3，+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)解析∵f(x)=x3+ax-2在（1，+∞）上是增函数，∴f′(x)=3x2+a≥0在（1，+∞）上恒成立.即a≥-3x2在（1，+∞）上恒成立.又∵在（1，+∞）上-3x2＜-3,∴a≥-3.B3.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值，最小值分别是（）A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16解析∵y′=6x2-6x-1

4、2=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.A4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′(x)在（a，b）内的图像如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析f′(x)＞0时,f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x)＞0.由图像可知只有1个极小值点.A5.（2009·辽宁）若函数f(

5、x)=在x=1处取极值，则a=.解析因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f′(x)=0的根，将x=1代入得a=3.3题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a的范围.思维启迪题型分类深度剖析解（1）由已知f′(x)=3x2-a.∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥

6、0,∴只要a≤0.又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函

7、数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f