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1、第卷第期吉安师专学报自然科学月,,年数学分析中悬而未决的问题欧阳耿雌州师范学院漳州‘、旧问题,分析存在于几代数学分析荃础理论中的缺陷,摘要讨论了数学分析中未解决的新提出了解决间题的一条思路关键词数学分析间题,,年代初美国数学家罗滨逊提出了非标准数学分析理论为数学分析理论的发展增添了一个新的篇章如果我们把牛顿、莱布尼兹时代的数学分析理论称为
2、第一代数学分析理论,将,标准分析称为第二代那么非标准分析可被称为第三代数学分析理论,,通常人们认为建立在实数连续统上的第二代数学分析理论已经很完善了而第三代理论,,不少人又认为它将成为未来的数学分析理论,诞生后但是从下面的讨论中我们将清楚地看,,到第二代理论实际上没有从本质上解决数学的第二次危机而第三代理论也同样不具备解决三代理论有着共同的本质性缺陷这危机的能力无穷小增悖论与第二次数学危机,。、至少从阿基米德时代起无穷小量方法已是力学和几何学里的一个重要工具到了,,、、世纪除
3、了求曲线长度及曲线所包围的面积等类问题外还产生了诸如求速度切线和极大极小值等新问题终于,在世纪晚期形成了微积分这门科学新诞生的微积分方法一方面以其运用的广泛性和运算的完整性证实了它自身的价值和科学性而迅速地成长、壮大,成为解决问题的重要工具同时,也因其运算过程中所存在的一种前所未有的神秘性而暴露了数学中与有穷、无穷概念体系相关的基础理论的缺陷,使人们走上了“”漫长的探索微增量性质之路,,,以求落体的瞬时速度为例用表示时间的无穷小增量表示相应的距离增量我们要求,这是个有
4、穷数值为了求出到之间的距离增量,要求当时落体,,、,,‘‘,二二,,一一丫二只的“位置告’一‘’’“、‘’再‘“求‘““当一‘’时,落口体的位置‘令‘’“’“、一”一川一『降,,,,我们可求出距离的增量“丫所以所求的瞬时速度就是比值一”刁一姗’一’’要‘一、尹’一“’,’,一一“曰一一一月”尽即甲儿
5、一“一一一”‘,、、,,二一,·一,,令这时需令得’、一’、‘一‘’沪’了、一‘’产‘一一一一丫一一“”一”一二”一一在这样的一种数学运算中,人们称为无穷小但无穷小是什么它只能有一种身份不是。就是非。的有穷数可是事实却是不管它是。或某有穷数都会—导至悖论人们将此运算,收稿日期一一收修改稿日期一一吉安师专学报自然科学年过程中
6、所存“”在的逻辑矛盾称为第二次数学危机著名的贝克莱道出了这危机的本质他说“因为当说到增量消,,,失即增量不存在或没有增量那么原先增量为某数或有增量的假定就被破坏了但却保留了在这假定下推出的结论,即靠它得到的表达式却被保留了,这是错误的推,,理方法”之谜耗费了人类大量的心血是、但实际上传统的有穷无穷概念体系的缺陷导致了第二次数学危机的产生第二代数学分析理论中的新、旧问题,人们普遍认为经过近。年的努力之后所创立的第二代数学分析理论彻底解决了数学的第二次危机这理论想通过在微积分中赶走
7、无穷小来达到巩固其基础的目的对于上述求瞬时速度的例子其作法是放弃了把它当作无穷小增量的比值来计算的企图,而把它定义为有穷,,增量的比值所逼近的极限令山为一变动的有穷增量山为相应地变化着的距离增量那么,,所一时的瞬时速度就是山山是变量匀以由定义当,,,对于以极限论为基础的这种作法实际上人们还有不少优虑一方面人们发觉在操作上“,,”第一代理论中那个先不为。而被引进参与运算然后宣布为。而被扬弃的过程实际上完“,,全等价于第二代理论中的山先不充分变小山而被引进算式
8、参与运算然后突然宣布,,,它”充分变小匀而被扬弃的过程另一方面从理论上看在第一代理论中人们无法阐明为什么同一个,一会可以说它是非。,一会儿又可以说它是而第二代理论的很小的数,,“”,中人们也同样无法阐明为什么同一个匀一会儿可以说它是变动的有男增量一会儿又可,“”“”“”以说它是变动的充分小的量或叫无限趋于的量事实说昵第一代中的之谜就是,,,“山之”第二代理论中的谜只不过是换了一种说法而已还有在第二代数学分析理论中人,,“。“。一们用一少语言来定
