矩阵不仅在线性方程组的研究中要用到它.ppt

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1、第四章矩阵不仅在线性方程组的研究中要用到它，在高等代数的其他方面如向量空间、二次型等研究中也要用到，因此矩阵理论已成为高等代数理论的一个重要组成部分。此外，在其他数学领域以及科学技术中提出的有些问题，也都要用矩阵的理论去研究解决。矩阵是应用很广的数学工具。本章主要内容有：11.矩阵的运算定义1.设是矩阵，则矩阵称为和的和，记为。2两个矩阵必须行数和列数分别相同的情况下才能相加。矩阵加法满足如下规律：记零矩阵为，的负矩阵为，则秩()≤秩()+秩()1.矩阵的运算（续1）31.矩阵的运算（续2）定义

2、2设那么矩阵其中称为与的乘积，记为。两个矩阵相乘必须满足第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。一般地，。41.矩阵的运算（续3）定义4矩阵称为矩阵与数的数量乘积，记为。换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上。把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为。51.矩阵的运算（续4）定义5设的转置就是指矩阵61.矩阵的运算（续5）矩阵的转置适合以下的规律：72.矩阵乘积的行列式与秩定理1设是数域上的两个矩阵，那么即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。推论1设是数域上的矩阵，于是8

3、2.矩阵乘积的行列式与秩（续）定义6数域上的矩阵称为非退化的，如果；否则称为退化的。定理2设是数域上的矩阵，是数域上的矩阵，于是秩()min[秩(),秩()],即乘积的秩不超过各因子的秩。93.矩阵的逆定义7级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得.（这里是级单位矩阵）矩阵就称为的逆矩阵，记为。103.矩阵的逆（续1）定义9设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵。113.矩阵的逆（续2）定理3矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而可逆矩阵的一些性质：(1)(2)(3)存在，则(4)如果矩阵可逆

4、，则(5)如果存在,那么有唯一解；有唯一解。123.矩阵的逆（续3）定理4是一个矩阵，如果是一个可逆矩阵，　　是一个可逆矩阵，那么秩()=秩()=秩()。134.矩阵的分块用分块矩阵作矩阵加法时，必须将矩阵分成大小相同的小块；作矩阵乘法时，第一个矩阵的列的分法必须与第二个矩阵的行的分法相一致。形式为的矩阵，其中是数()，通常称为对角矩阵，而形式为144.矩阵的分块（续）的矩阵，其中是矩阵()，通常称为准对角矩阵。如果都是可逆矩阵，那么155.初等矩阵定义10由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称

5、为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵，并且有：定义11矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到。165.初等矩阵（续1）引理对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵．定理5任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）。175.初等矩阵（续2）矩阵与等价的充分必要条件是有初等矩阵使定理6级矩阵可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：推

6、论1两个矩阵与等价的充分必要条件是，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵,使推论2可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。185.初等矩阵（续3）设是一个级可逆矩阵．由推论2，有一系列初等矩阵使(1)由(1)即得(2)(1)，(2)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到。195.初等矩阵（续4）把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵(),按矩阵的分块乘法，(1)，(2)可以合并写成这就是通常求逆矩阵的方法。作矩阵（），用初等行

7、变换把它的左边一半化成，这时右边的一半就是。20