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1、数理科学重庆三峡学院学报——JOURNALOFCHONGQINGTHREEGORGESUNIVERSITY2005年第３期第21卷——No.３.2005Vol.21.F上不可约多项式的周期与次数的关系p邬毅（重庆师范大学数学与计算机科学学院，重庆400047）摘要：有限域上的不可约多项式在密码和编码的领域研究中起着重要作用，近年来，人Fp们对F上的不可约多项式周期、次数等问题进行了大量研究。文中主要研究了F上不可约多项pp式有关周期及次数的若干性质，讨论了周期和次数的关系。关键词：不可约多项式；周期；次数中图分类号：O174.14文献标识码：A文章编号：1009-8135(2005)03-
2、0075-03一、基本概念及有关结论[1]l定义1:设ϕ()x是F上的一个n次不可约多项式,而(f(x),ϕ()x)=1,l为使f()x≡1(modϕ()x)pn的最小的正整数，则l叫做f(x)对模ϕ()x的次数。如果l=p-1，则f(x)叫做模ϕ()x的原根。[2]l定义2:设f(x)是F上的多项式,则称使f(x)│x-1的最小正整数l为f(x)的周期。p*[3]定理1设β∈Fn,β的阶为t,p对模t的次数为s,则β的极小多项式的次数等于s。pn定理2设ϕ()x是F上的一个n次不可约多项式，f(x)对模ϕ()x的次数为l，则l│p-1。pnnnp−1ql+r证明:(反证法)如果lp-1，
3、可以设p-1=ql+r，1≤r≤l-1。因为(f(x))≡(f(x))≡nlqrp−1lr[(f(x))].(())fx(modϕ()x),且(f(x))≡(())fx≡1(modϕ()x)，所以有(())fx≡1(modϕ()x)，n由定义1，这与l最小矛盾，故l│p-1。2l−1定理3设f(x)模ϕ()x的次数为l，则1，f(),(),xfx⋯，f()x对模ϕ()x两两不同余。srs−r证明:若有正整数r、s，1≤r＜s≤l,使得(())fx≡(())fx(modϕ()x)成立，则有(())fx≡sr21(modϕ()x)，不可能推出l│s-r，故(())fx≡(())fx(modϕ(
4、)x)不成立，则1,f(),(),xfx⋯收稿日期：2004-12-03作者简介：邬毅(1982-)，男，重庆云阳人，重庆师范大学数学与计算机科学学院基础数学专业研究生。-75-数理科学偶f()xl−1(l,l)=1，则有hx()=hx()l2,hx()=hx()l1，其对模ϕ()x两两不同余。1212n定理4设l│p-1,ϕ()x为F上n次不可约次数各为l、l，故得ϕ()ll=ϕ()lϕ()l。p121212t多项式，则次数为l、模ϕ()x互不同余的多项式tq2)设l=q,q为素数，则由文献[2]知X-1≡t的个数是ϕ()l个。这里ϕ()l是欧拉函数。0(modϕ()x)，的解数为q，若
5、X适合此式而次数tq−1证明:首先证明ϕ()l的若干性质，其次证明非q，则必适合X-1≡0(modϕ()x)，此式的解t−1ttt−1ϕ()l就是欧拉函数。数为q，故ϕ()q=q-q。1)(l,l)=1⇒ϕ()ll=ϕ()lϕ()l.令由1)、2)知，ϕ()l为欧拉函数。121212二、Fp上多项式周期与次数的关系hx()、hx()的次数分别为l、l，hxhx()()的121212定理（一）若F上n次不可约多项式f(x)的pll2次数为l,则1≡(()())hxhx≡12周期为l，则p模l的次数为n。(())hxll2定理（二）若p模l的次数为n，则F上共1(modϕ()x)。由已证定理2
6、得:l1│ll12.p但(l1,l2)=1，故l1│l，同理l2│l，故l=ll12，ϕ()l有个周期为l的n次不可约多项式。n即hxhx()()的次数为ll。所以，若有一多项式1212定理（一）的证明:由定理1和“极小多项式nnhx1()其次数为l1，另一多项式hx2()其次数为l2，的根的阶”易得l│p-1⇒p-1≡n则可以做出一多项式hxhx12()()，其次数为l。现0(modl)⇒p≡1(modl)⋯⋯(*),下证n为满足k证:hx()≡hx′()(modϕ()x),hx()≡(*)的最小正整数:∀k∈n，假设p≡1(modl)，则112knknhx′()(modϕ()x)⇒hx
7、hx()()≡l│p-1│p-1⇒l│(p-1,p-1)⇒l│212(,)knhxhx′′()()(modϕ()x).因为倘若hxhx()()≡p-1，故∃(k,n)次不可约多项式g(x)，由(k,n)1212│n,则g(x)│f(x)，这与题设f(x)不可约矛盾。hxhx′′()()(modϕ()x)，则hxhx()()′−1≡1211定理（二）的证明:f()x为F上的n次不可phxhx()−1′()(modϕ()x)
