《导数的应用习题》PPT课件.ppt

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1、导数的知识点一、知识点1．导数应用的知识网络结构图：2．基本思想与基本方法：①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践的辩证关系，具有较大的实践意义。②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：i）求f′(x)；ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：i）求f′(x)；ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）

2、；iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号；iv）作出判断。注意：1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内>(<)0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,

3、我们也可用求导的方法求函数的值域.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f′(x)；ii）求方程f′(x)=0的全部实根；iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：i）求f（

4、x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确定f（x）的最大值与最小值。求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点

5、外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.二、例题选讲例1:讨论函数的单调性.解:函数的定义域为当x<0或x>1时,故当x<0时,;当x>1时,当0

6、,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2)和(1,+∞)上是减函数.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:(1)由题意得:(2),解得x>0或x<-2.故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调

7、递增区间.答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线).解:在已知曲线上任取一点(x,x6/3),则过该点的切线的斜率为,从而法线的斜率为故法线方程为令X=0,得法线在y轴上的截距:则令,得当x<-1时,,则Y单调减小;当-11时,,则Y单调增加.故当时,Y有最小值5/6,此时点为所求.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx

8、+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)