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1、第五章结构刚度矩阵 与荷载向量计算结构力学5-1概述以图示框架结构为例，设有n个未知量:相应的结点荷载向量为:则结构刚度方程可写为:[K]-称为结构刚度矩阵(或称总刚度矩阵)本章讨论[K]的形成及程序设计，以及{P}的形成。5-2应用能量原理形成结构刚度矩阵其中:结构在外荷载作用下的总势能可以写成：NE是单元数单元结点位移整体坐标系中的单元刚度矩阵NF－单元自由度数N－结构未知量总数C＝0或1。指明单元结点位移向量是由结构结点位移向量中的哪几个分量所组成令:(5)式反映了结构的离散过程，实际上表明了结构离散化后的变形协调条件。
2、将(5)式代入(3)式：结构总势能为：于是：[K]是由[k]经过[C]变换后装配而成。由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。[C]NFxN是单元定位向量的增广写法：一个单元对应一个[C]e，且有：讨论例1：解：给单元结点编号，并写出各单元的定位向量：1210200010300034由(5)式可写出各单元的结点位移向量与结构结点位移向量的关系式：由此可得到各单元的[C],如对第③单元，可写出:即Cij的行号与MWe的行号一致，把的序号作为[C]的列号j，便可由MWe得到[C]e。5-3按单元定位
3、向量装 配结构刚度矩阵MW处理了约束，以及主从关系，无效未知量等特殊结点信息，也是[C]矩阵的实用(增广)写法。MW是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编号顺序所组成的向量(列阵)。单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结构总体未知量中的对应位置(总体序号)。由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚阵中的位置。解：设线刚度i=1单元刚度矩阵例2：求图示连续梁的结构刚度矩阵。注意以下写法：23定2312定12得到结构总刚度矩阵为：主系数与副系数:相关未知量：相关结点：相关单元：结构刚度矩阵的组成规律专有名词eKii=∑
4、kii>0且Kij=Kji凡未知量i的相关结点所在单元称为末知量i的相关单元。与未知量i在同一单元的未知量叫做未知量i的相关未知量。 若i，j相关，则Kij≠0若i，j不相关，则Kij=0未知量i的相关未知量所在结点称为未知量i的相关结点。5-4形成结构刚度矩阵的直接刚度法不是列向量乘行向量,也不是向量的内积(点积)1、并积的概念定义并积为：ai与bi不进行任何运算。2、由单元定位向量的指标并积形成下标矩阵如果将某个单元的定位向量代入上式，由上节中的例题可明显看出[H]中的元素就表示这个单元的刚度系数在结构刚度矩阵[K]中的下
5、标。解：如图,各单元的定位向量为：MW①=[12]TMW②=[23]T例3：求图示连续梁的单元刚度矩阵在结构刚度矩阵中的下标矩阵。根据并积定义：①②清楚地表明了各单刚系数在总刚中的位置，参考前节例题例4：求图示刚架中第①单元的刚度系数对结构刚度矩阵的贡献。解:单元定位向量为:MW①=[000102]T式中圆括号内的元素就是第①单元刚度系数在[K]中的下标。式中含零的元素说明单刚中此元素经[C]夹乘后为零,参考(5-2-9)式,不须叠加,只有[H]中的元素与结构[K]中下标一致时才进行叠加。这样便可根据单元定位向量的并积作为结构
6、刚度矩阵[K]的下标直接来装配结构刚度矩阵。 这就是直接刚度法。上式并积的进一步说明：单元结点位移的序号为123456(I,J)单元①的定位向量为000102(L,K)则意味着：①①①①→表示叠加到结构刚阵中去由此可看出：由MW的并积形成下标矩阵，完全确立了单刚[k]中的元素在总刚[K]中位置，从而由数学的角度说明了用MW装配[K]的过程。上述过程的FORTRAN程序模块可写成：L=MW(I)K=MW(J)ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(I,J)3、形成[K]的程序设计框图本章新的变量和数组:NAI：EA或EI分组数(
7、截面特性分组数)；DK(I,J)：单元刚度矩阵，其中I,J(1→6):单刚的行列号；ZK(L,K)：结构刚度矩阵,其中L,K(1→N):总刚的行列号。主程序,数据输入等计算各单元的L,C,S计算XSA(NE,7)形成单元刚度矩阵形成结构刚度矩阵结束形成JW数组形成MW数组程序设计框图4、形成结构刚度[K]的源程序设计CTHEPROGRAMOFKJEXAMDIMENSIONJW(3,20),JTX(4,20),JH(2,20),*MW(6),JMH(20)REAL*8CX(20),SY(20),SL(20),EA(5),*X(2
8、0),Y(20),XSA(20,7),ZK(50,50),El(5)WRITE(*,*)'FINDINGTHEMWOFEI.EMENTS'OPEN(1,FILE='KJE.DAT')数据文件名为KJE.DATREAD(1,*)NE,NJ,NJT,NAIREAD(1,*)((J
