定态薛定谔方程求解及自洽场方法.ppt

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1、1-6角动量1.经典力学中的角动量总角动量M的三个分量Mx,My,Mz等于2角动量算符3对易规则(commutationrules)即相互对易的算符具有共同的本征函数系，物理量A和B可同时测定，具有确定值a和b.证明:若,设因此,也是算符的本征函数,最多相差一个常数.即上式表明也是算符的一个本征函数.4.Hamilton算符与角动量的对易规则5.角动量的本征函数令、的共同本征函数Y=Y(,)=S()T()本征方程角动量阶梯算符方法(TheLadder-operatormethodforan

2、gularmomentum)1角动量升降算符（raisingandloweringoperators）升算符降算符也称为产生算符消灭算符对与角动量共同的本征函数Y,有升算符作用上式有(4.43)类似地可推得(4.44)即升算符对Y每作用一次，使得其波函数变为上一级本征值的本征函数。类似地，对降算符有：(4.45)(4.46)即升降算符作用角动量本征函数获得的本征值、本征函数为：Ladder(4.47)(4.48)是的共同本征函数。实际上，可相互对易。通式：证明：阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限

3、、下限？解法一已知M2,Mz的本征值阶梯算符产生的Mz的本征值是否存在上限、下限？设(4.49)类似的本征方程有(4.50)(4.51)解法二结合(4.48)式，有(4.52)对应一个非负的本征值，因此(4.53)bk存在一个极大值bmax与极小值bmin.即用升算符作用(4.54)式有(4.54)显然，上式与bmax为极大值矛盾，若上式成立，必有(4.55)降算符作用(4.55)式有(4.56)类似推导可得(4.57)(4.58)(4.56)－(4.58)得(4.59)把上式看作bmax的一个二次

4、方程式，求解有(5.60)第二个根不合理，故bmax=-bmin(4.61)由阶梯算符作用本征函数的Mz的本征值有(4.63)由(4.56),(4.58)有(4.64)整数j对应于角动量M2,分数j对应于自旋角动量S2。电子自旋1.自旋角动量算符的对易关系假设自旋角动量算符都是Hermite算符，且具有与轨道角动量相同的对易规则（非相对论量子力学关于自旋的第一假设）。单电子情况(4.65)(4.66)(4.67)多电子体系(4.68)(4.69)总电子自旋有相同的对易规则（4.70）(4.71)自旋

5、角动量本征方程(4.72)(4.73)上式中S为多电子体系的总自旋量子数，Ms为S沿z轴的分量。2．单电子自旋算符的本征函数和本征值对于单电子，和的本征态只有两个，以和表示。(4.74)(4.75)s或ms都叫做单电子的自旋量子数。ms=1/2的态叫做上自旋态(spin-upstate),ms=-1/2的态叫做下自旋态(spin-downstate).电子自旋的取向自旋态的正交归一性质<

6、>=1,<

7、>=1<

8、>=<

9、>=0(4.76)——非相对论量子力学关于自旋第二假设3．

10、电子自旋的升降算符(4.77)(4.78)可以证明：(4.81)(4.82)4.Pauli自旋矩阵令

11、1>=

12、>,

13、2>=

14、>,计算自旋算符的矩阵元求的矩阵表示(4.83)同理可求得其它表示矩阵(4.84)(4.85)Pauli算符与Pauli矩阵(4.86)(4.87)