平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件(人教A选修4-1).ppt

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1、1．正射影的概念给定一个平面α，从一点A，称为点A在平面α上的正射影．一个图形上所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．作平面α的垂线，垂足为点A′点A′点A′2．平行射影设直线l与平面α相交，称为投影方向，过点A作的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．直线l的方向平行于l点A′各点在平面α上的平行射影3．正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正

2、射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为．②β＝α，平面π与圆锥的交线为．③β<α，平面π与圆锥的交线为．椭圆椭圆抛物线双曲线[例1]如果椭圆所在平

3、面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是()A．椭圆B．圆C．线段D．射线[思路点拨]要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．[解析]因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．[答案]A平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直

4、线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.答案：①②④2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形

5、ABCD在平面α上的射影仍是梯形．答案：一条线段或梯形3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．(1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形；(2)当∠BAC＝60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.[例2]如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦点的椭圆．[思路点拨]证明曲线的形状是椭圆，利

6、用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．[证明]如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.根据切线长定理的空间推广，知PF1＝PK1，PF2＝PK2，所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的

7、焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．(2)该题使用了切线长定理的空间推广(从球外一点引球的切线，切线长都相等)．[例3]证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．[思路点拨]本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法．[证明]如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于

8、圆S1、S2.在截面的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．由平面中，直线与等腰三角形两边的位置