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1、用空间向量解决立体几何问题方法的优化探究高中数学立体儿何，主耍考查学生的空间想象能力，考题一般是两道小题和一道大题，占22分左右，近总分的六分么一。在新课标理科增加了空间向量部分，我们大多数都知道利用向量工具会给我们带来不少的方便，尤其是在求角和距离时，如果用传统的方法去做题，需要按“做一证一求”三步來完成，最难的莫过于求二面角的大小了，往往是我们做不出二面角，更不用说是求它的大小了。空间向量给我们带来了署光，我们只要能够掌握住求角、距离的几个模型和公式，利用空间向量可以轻松的求得要求的角或距离。可是在求角和距离的过程中，一
2、般都会与法向量有关，求法向量则需要解利用垂直条件所得到的方程组。在解方程组时，我们常常会一不小心算错了哪一个数，这样的后果很严重。可是利用向量解题的思路简单，这就使我们有点可望面不可及了。好多学生就是因为怕过不了运算关，宁可舍弃这种方法而用传统的方法求解。有没有好的方法帮助学生跳过这个坎儿呢？这使我冋想起高等教材《解析几何》里有两个向量的矢性积的定义和求两个向量的矢性积的方法，如果能将这个方法移植到立体几何里求法向量，岂不快哉？首先我们来看一下两向量的矢性积的定义：方法一（内积法人在给定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n
3、二(x,y,1)[或n二(x,1,z),或n=(1,y,z)],在平面a内任找两个不共线的向量且,bo由n丄a,得a?b二0_且n?b二0,由此得到关于X,y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法)两向非零量“，b的矢性积(也称外积)是一个向量，记做aXb或[ab],它的模是
4、aXb
5、=
6、a
7、
8、b
9、sinZ(a,b)((a,b)表示a■与b的夹角且0W(a,b)Wn),它的方向与a,b都垂直，我们通常按a,b,aXb这个顺序构成右手标架{0；a,b,aXb}o如右图向上的实箭头线为aXb的方向，向下的虚箭头线bXa的
10、方向.(我们也可以用“右手定则”，也就是右手四指由"的方向转为b的方向时，大拇指所指的方向规定为aXb的方向。)我们从上图中就可以看到，两个向量的矢性积与我们要求的法向量很是接近的，如果能够求得两个向量的矢性积，我们就把它作为这两个向量(或它们所在的平而)的法向量，不就可以达到我们的冃的了吗？我们从两个向量的矢性积的定义可得到如下性质：()两向量a与b共线的充要条件是aXb=0；(•/
11、aXb
12、=
13、a
14、
15、b
16、sin二0)；(2)aXb-bXa；(从模长和方向(用右手标架判断)两方面证它们是相反向量)(3)(")X(Pb)二(
17、入u)(aXb)；(4)满足分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc.利用上述的性质我信可以证得以下结论成立结论:如果a二xli+ylj+zlk,b二x2i+y2j+z2k,则aXb=(yly2-y2zl)i+(zlx2~z2xl)j+(xly2~x2yl)k证明：因为aXb=(xli+ylj+zlk)X(x2i+y2j+z2k)=xlx2(iXi)+xly2(iXj)+xlz2(iXk)+ylx2(jXi)+yly2(jXj)+ylx2(iXk)+zlx2(kXi)+zly2(kXi)+zlz2(kXk)又因为坐标向量i,j
18、,k是三个两两互相垂直的单位向量，所以有下关系式成立iXi二0,jXj二0,kXk=0,iXj=k,jXk=i,kXi二j,jXi=-k,kXj二-i,iXk=-j从而得aXb=(ylz2-y2zl)i+(zlx2~z2xl)j+(xly2~x2yl)k0非零向量即为平而的一个法向量.下面我们还是用具体的实例来看看：例题(2012全国新课标卷19题)如图，直三棱柱ABC丄A1B1C1中，，D是棱A1的中点，DC1丄BC.(1)证明:DC1丄BC(2)求二面角A1-BD-C1的大小。【解析】面，从而CA,CB,CC1两两互相垂
19、直，以C为朋标原点，CA,CB,CC1依次为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,设CA二1,则,CB=1,CC1=2,Al(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),Cl(0,0,2),DAI(0,0,1),BD(1,-1,1),BC1(0,-1,2),设平面A1BD的法向量为n二(x,y,因此可得n二（1,1,0）设平面C1BD的法向量为n则可取m二（1,2,1）,判定方向，（1,1,0）向二面角外，in二（1,2,1）向二面角内部，其二面角的余弦值为,乂二面角的范围为［0,“］所以所求二面角的大小为30。o用空间
20、向量解决立体几何问题“三步曲”（1）立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，建立右手空间直角坐标系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运
