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1、第五章矩阵的特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量§5.2相似矩阵与矩阵可对角化条件§5.3实对称矩阵的对角化中南财经政法大学信息学院信息系1一、特征值与特征向量定义三、矩阵的迹二、特征值与特征向量求法§5.1矩阵的特征值与特征向量中南财经政法大学信息学院信息系2定义5.1若存在常数及非零向量一、特征值与特征向量定义中南财经政法大学信息学院信息系3说明中南财经政法大学信息学院信息系4称二、特征值与特征向量的计算方法中南财经政法大学信息学院信息系5定理5.1设Ａ是n阶矩阵，则 是Ａ的特征值， 是Ａ的属于 的特征向量证明中南财经政法大学信息学院信息系6中南财经政法
2、大学信息学院信息系7求矩阵特征值与特征向量的步骤：中南财经政法大学信息学院信息系8例1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由中南财经政法大学信息学院信息系9得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为二重根中南财经政法大学信息学院信息系10例2求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程组得基础解系全部特征向量为中南财经政法大学信息学院信息系11当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.二重根中南财经政法大学信息学院信息系12例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只
3、能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得中南财经政法大学信息学院信息系13例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得中南财经政法大学信息学院信息系14中南财经政法大学信息学院信息系15矩阵的特征值与其特征多项式的关系中南财经政法大学信息学院信息系16中南财经政法大学信息学院信息系17特点则有：中南财经政法大学信息学院信息系18性质：中南财经政法大学信息学院信息系19中南财经政法大学信息学院信息系20课堂练习中南财经政法大学信息学院信息系21（答：2，-2，0.）中南财经政法大学信息学院信息系22一、相似矩阵概念二
4、、相似矩阵基本性质三、矩阵可对角化的条件§5.2相似矩阵与矩阵可对角化条件中南财经政法大学信息学院信息系23设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称与是相似的,或说一、相似矩阵概念中南财经政法大学信息学院信息系24中南财经政法大学信息学院信息系25相似是一种等价关系中南财经政法大学信息学院信息系26(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.二、相似矩阵基本性质(6)相似矩阵的逆矩阵仍相似(设两者都可逆).(7)相似矩阵的幂仍相似.中南财经政法大学信息学院信息系27证明设矩阵
5、A与B相似,即有P-1AP=B(1)(2)显然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值与迹的关系可得.(6)(7)由相似的定义可得.中南财经政法大学信息学院信息系28例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的特征值2,y,-1.根据特征方程根与系数的关系,有：而故x=0,y=1.中南财经政法大学信息学院信息系29课堂练习中南财经政法大学信息学院信息系30所谓方阵可以对角化,是指即存在可逆矩阵使成立.定理5.2阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.三、矩阵可对角化的条件中南财经政法大学信息学院信息系31证明设即是的对应于特征值的特
6、征向量.又因可逆,故线性无关.得到中南财经政法大学信息学院信息系32设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.中南财经政法大学信息学院信息系33定理5.3中南财经政法大学信息学院信息系34中南财经政法大学信息学院信息系35中南财经政法大学信息学院信息系36证明则即类推之，有中南财经政法大学信息学院信息系37把上列各式合写成矩阵形式，得中南财经政法大学信息学院信息系38定理5.4对一重特征值来说,相应地只有一个线性无关的特征向量对k重特征值来说,相应地线性无关的特征向量不会超过k个中南财经政法大学信息学院信息系39(证明略)定理5.5推论属于不同特征值的特征向量是
7、线性无关的中南财经政法大学信息学院信息系40定理5.6(充分条件)若A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).如教材§5.1例3，P169注意：逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.中南财经政法大学信息学院信息系41例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解中南财经政法大学信息学院信息系42解之得基础解系中南财经政法大学信息学院信息系43求得基础解系中南财经政法大学信息学院信息系44解之得基础解系故不能化为对角矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系45A能否对角化？若能对角化,试求出可逆矩阵P例2解中南财经政法大学信息学院信息系4
